Ισεμβαδικότητα ανομοίων

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10960
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισεμβαδικότητα ανομοίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 27, 2018 2:55 pm

Ισεμβαδικότητα  ανομοίων.png
Ισεμβαδικότητα ανομοίων.png (10 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC οι κορυφές B,C και το ίχνος του ύψους AD είναι σταθερά σημεία .

Ευθεία διερχόμενη από το μέσο M της AC και το D , τέμνει την προέκταση της AB σε

σημείο S . Φέροντας SP\perp AD , SQ \perp CB , συμπληρώνουμε το ορθογώνιο DPSQ .

Βρείτε τη θέση του D , ώστε : (DPSQ)=(DMC) , ανεξάρτητα από τη θέση του A .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8523
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισεμβαδικότητα ανομοίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 27, 2018 4:47 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 27, 2018 2:55 pm
Ισεμβαδικότητα ανομοίων.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC οι κορυφές B,C και το ίχνος του ύψους AD είναι σταθερά σημεία .

Ευθεία διερχόμενη από το μέσο M της AC και το D , τέμνει την προέκταση της AB σε

σημείο S . Φέροντας SP\perp AD , SQ \perp CB , συμπληρώνουμε το ορθογώνιο DPSQ .

Βρείτε τη θέση του D , ώστε : (DPSQ)=(DMC) , ανεξάρτητα από τη θέση του A .
Ισεμβαδικότητα ανομοίων.png
Ισεμβαδικότητα ανομοίων.png (10.23 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
\displaystyle (DMC) = (DPSQ) \Leftrightarrow \frac{{(ADC)}}{2} = 2(QSD) \Leftrightarrow \frac{{(ADC)}}{{(QSD)}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{D{C^2}}}{{D{Q^2}}} = 4 \Leftrightarrow

\displaystyle DC = 2DQ και AD=2QS. Αλλά, \displaystyle \frac{{AD}}{{QS}} = \frac{{BD}}{{QB}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{QD}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \boxed{DC=3BD}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6792
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισεμβαδικότητα ανομοίων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 27, 2018 4:50 pm

Σχεδόν προφανές : 4BD = BC
Αμόμοια και ισεμβαδικά.png
Αμόμοια και ισεμβαδικά.png (18.41 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές
Αν K το μέσο του DC θα είναι (PSD) = (KDM) ανεξαρτήτως του

\boxed{KM = m = \dfrac{1}{2}KD} αυτό θα συμβεί αν και μόνο αν \vartriangle PSD = \vartriangle KDM οπότε εύκολα

έχω : \dfrac{{SP}}{{BD}} = \dfrac{{AP}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{{DK}}{{BD}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{{2DK}}{{BD}} = 3 \Rightarrow \dfrac{{2DK + BD}}{{BD}} = 4 \Rightarrow BC = 4BD.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1697
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισεμβαδικότητα ανομοίων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μάιος 28, 2018 9:31 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 27, 2018 2:55 pm
Ισεμβαδικότητα ανομοίων.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC οι κορυφές B,C και το ίχνος του ύψους AD είναι σταθερά σημεία .

Ευθεία διερχόμενη από το μέσο M της AC και το D , τέμνει την προέκταση της AB σε

σημείο S . Φέροντας SP\perp AD , SQ \perp CB , συμπληρώνουμε το ορθογώνιο DPSQ .

Βρείτε τη θέση του D , ώστε : (DPSQ)=(DMC) , ανεξάρτητα από τη θέση του A .

\displaystyle \vartriangle ADC \simeq \vartriangle DSP \Rightarrow \frac{{\left( {ADC} \right)}}{{\left( {DSP} \right)}} = {\left( {\frac{{AD}}{{DP}}} \right)^2} = 4 \Rightarrow \frac{{DP}}{{PA}} = \frac{1}{3}

Στο τρίγωνο \displaystyle ABC με διατέμνουσα \displaystyle MDS \Rightarrow \frac{{AM}}{{MC}} \cdot \frac{{CD}}{{DB}} \cdot \frac{{SB}}{{SA}} = 1 \Rightarrow 1 \cdot \frac{{CD}}{{DB}} \cdot \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow \boxed{CD = 3DB}
I.A.png
I.A.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης