Λόγος διαγωνίων

KARKAR · #1

: Λόγος διαγωνίων.png (6.95 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέρουμε τη διχοτόμο

, καθώς και τμήματα :

$DS\parallel BC$ , $DT \parallel AC$ . Ενδιαφερόμαστε για τον λόγο των διαγωνίων $\dfrac{CD}{ST}$

του σχηματιζόμενου ρόμβου - γιατί είναι ρόμβος ; - CSDT

.

Ποιος είναι ο λόγος $\dfrac{b}{c}$ , αν : $\dfrac{CD}{ST}=\dfrac{3}{2}$ ; Ποιος είναι ο λόγος $\dfrac{CD}{ST}$ , αν : $\dfrac{b}{c}=\dfrac{1}{2}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 1:23 pm
Λόγος διαγωνίων.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέρουμε τη διχοτόμο , καθώς και τμήματα :

$DS\parallel BC$ , $DT \parallel AC$ . Ενδιαφερόμαστε για τον λόγο των διαγωνίων $\dfrac{CD}{ST}$

του σχηματιζόμενου ρόμβου - γιατί είναι ρόμβος ; - .

Ποιος είναι ο λόγος $\dfrac{b}{c}$ , αν : $\dfrac{CD}{ST}=\dfrac{3}{2}$ ; Ποιος είναι ο λόγος $\dfrac{CD}{ST}$ , αν : $\dfrac{b}{c}=\dfrac{1}{2}$ ;

Μία εκτός φακέλου.

: Λόγος διαγωνίων.png (13.49 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές

Λόγω της διχοτόμου και των παραλληλιών προκύπτει ότι το παραλληλόγραμμο CSDT

είναι ρόμβος.

$\displaystyle \cot 2x = \frac{b}{c},\cot x = t = \frac{{CD}}{{ST}} \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{{{t^2} - 1}}{{2t}} \Leftrightarrow c{t^2} - 2bt - c = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{CD}}{{ST}} = t = \frac{{b + \sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{c}}$

Τα υπόλοιπα είναι απλή αντικατάσταση.

#3

Επειδή $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ ( υπόθεση) και $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}}$ ( DS//TC

) θα είναι $\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} \Leftrightarrow SD = SC$

και άρα το παραλληλόγραμμο DTCS

είναι ρόμβος. Έστω

το σημείο τομής των

$CD\,\,,\,\,ST$ .

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει την ευθεία

στο

.

Θα είναι έτσι , $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _4}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _2}} = \widehat E \Rightarrow \widehat {{\theta _4}} = \widehat E \Leftrightarrow \boxed{CB = CE = a}$ . Αφού τώρα

$\vartriangle ABE \approx \vartriangle MCB$ θα είναι : $\boxed{\frac{{CD}}{{ST}} = \frac{{MC}}{{MS}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{a + b}}{c} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} + b}}{c}}$

: Λόγος διαγωνίων _Karkar_new.png (19.63 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές

Αν θέσω

η προηγούμενη γίνεται :

$\boxed{\sqrt {{x^2} + 1} + x = \frac{{CD}}{{ST}}}$ έτσι η εξίσωση αυτή δίδει :

1. Αν $\dfrac{{CD}}{{ST}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = \dfrac{3}{2} - x \geqslant 0 \Rightarrow \boxed{x = \frac{5}{{12}}}$

2. Αν $x = \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $\boxed{\frac{{CD}}{{ST}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$

Λόγος διαγωνίων

Λόγος διαγωνίων

Re: Λόγος διαγωνίων

Re: Λόγος διαγωνίων

Μέλη σε σύνδεση