Λόγος από λόγο

KARKAR · #1

: Λόγος από λόγο.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Από την κορυφή

του - πλευράς

- ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , διέρχεται ευθεία

παράλληλη προς την

, επί της οποίας εντοπίστε σημείο

, ώστε να είναι :

SB=2SA

. Αν η

τέμνει την

στο σημείο

, υπολογίστε το (SP)

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 24, 2018 10:46 pm
Λόγος από λόγο.pngΑπό την κορυφή του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , διέρχεται ευθεία

παράλληλη προς την , επί της οποίας εντοπίστε σημείο , ώστε να είναι :

. Αν η τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε το .

Ο κύκλος $\displaystyle \left( {A,a} \right)$ τέμνει την παράλληλη της $\displaystyle BC$ από το μέσον $\displaystyle F$ της $\displaystyle AB$ στο $\displaystyle D$

Αν $\displaystyle M$ μέσον της $\displaystyle AD$ , η $\displaystyle BM$ τέμνει την παράλληλη από το $\displaystyle A$ στην $\displaystyle BC$ στο $\displaystyle S$ που είναι το ζητούμενο σημείο

Από ν.συνημιτόνου στο $\displaystyle \vartriangle ABS$ με $\displaystyle \angle BAS = {120^0}$ και $\displaystyle BS = 2AS$ παίρνουμε εύκολα $\displaystyle \boxed{AS = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}a}$

$\displaystyle \frac{{SP}}{{SB}} = \frac{{AS}}{{a + AS}} \Rightarrow SP = \frac{{2A{S^2}}}{{a + AS}} \Rightarrow ..\boxed{SP = \frac{{2a}}{3}}$

: λόγος από λόγο.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #3

Kαλημέρα. Μια προσπάθεια για τον εντοπισμό του

.

: Λόγος από λόγο..PNG (8.29 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

Στο σχήμα είναι AE=a/3..AZ=a

οπότε $\dfrac{EB}{EA}=2=\dfrac{ZB}{ZA}$ .

Το ζητούμενο

είναι τομή της παράλληλης από το

προς την

με τον Απολλώνιο κύκλο διαμέτρου

.

Έχουμε δύο τομές-λύσεις. Και στις δύο βρίσκουμε S'P'=SP=2a/3

... Φιλικά Γιώργος.

#4

α) Γράφω το κύκλο του Απολλώνιου για κάθε σημείο

του οποίου : $\boxed{\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{1}{2}}$ .

Ο κύκλος αυτός τέμνει τη παράλληλη ευθεία ( Από το

στη

) σε δυο σημεία

$S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S'$ .

: Λόγος απο λόγο.png (36.99 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

β) Αν ο πιο πάνω κύκλος , κέντρου

και ακτίνας

, κόψει τη πλευρά

στο

και τη προέκταση της

στο

, θέσω δε

θα είναι :

$AG = GK = KT = 2m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,GA = AK = m$

Επειδή $BP \cdot BS = BG \cdot BT = 2m \cdot 6m = 3m \cdot 4m = BA \cdot BK$ το τετράπλευρο AKSP

είναι εγγράψιμο και άρα $\widehat \theta = \widehat \omega = 60^\circ$ και αναγκαστικά το τρίγωνο KPS

είναι

ισόπλευρο ( καθώς και το $\vartriangle KP'S'$ ) και άρα $\boxed{PS = P'S' = 2m = \frac{{2a}}{3}}$ .

Βλέπω με πρόλαβε ο Γιώργος ο Μήτσιος ( ακολουθήσαμε την πεπατημένη! ) . Αφήνω τη λύση για τον κόπο και λόγω του δεύτερου ερωτήματος.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 24, 2018 10:46 pm
Λόγος από λόγο.pngΑπό την κορυφή του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , διέρχεται ευθεία

παράλληλη προς την , επί της οποίας εντοπίστε σημείο , ώστε να είναι :

. Αν η τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε το .

Καλημέρα σε όλους!

Αν AS=x

τότε

H

είναι διχοτόμος του ABS

και

άρα:

: Λόγος από λόγο.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

$\displaystyle \frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{PS}}{{BP}} = \frac{{AP}}{{PC}} \Leftrightarrow \frac{x}{{a + x}} = \frac{{AP}}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{AP = \frac{{ax}}{{a + x}}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle A{P^2} = ax - BP \cdot PS = ax - \frac{{2ax}}{{a + x}} \cdot \frac{{2{x^2}}}{{a + x}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 3{x^2} - ax - {a^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x = \frac{a}{6}\left( {1 + \sqrt {13} } \right)}$

Όμως $\displaystyle SP = \frac{{2{x^2}}}{{a + x}} \Leftrightarrow$ $\boxed{SP=\frac{2a}{3}}$

Λόγος από λόγο

Λόγος από λόγο

Re: Λόγος από λόγο

Re: Λόγος από λόγο

Re: Λόγος από λόγο

Re: Λόγος από λόγο

Μέλη σε σύνδεση