Ραντεβού στον περίκυκλο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9572
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ραντεβού στον περίκυκλο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 15, 2018 10:00 pm

Ραντεβού  στον  κύκλο.png
Ραντεβού στον κύκλο.png (16.87 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές
Σε τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB<AC , ο κύκλος (A,AB) τέμνει την AC στο P και

τον περίκυκλο του τριγώνου στο T . Δείξτε ότι η ευθεία TP και η διχοτόμος της \hat{A}

τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του τριγώνου .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1325
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ραντεβού στον περίκυκλο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 15, 2018 11:10 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 10:00 pm
Ραντεβού στον κύκλο.pngΣε τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB<AC , ο κύκλος (A,AB) τέμνει την AC στο P και

τον περίκυκλο του τριγώνου στο T . Δείξτε ότι η ευθεία TP και η διχοτόμος της \hat{A}

τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του τριγώνου .

Είναι \displaystyle AS \bot BP και \displaystyle FP \bot BP \Rightarrow FP//AS \Rightarrow x = y\displaystyle  \Rightarrow ATSB εγγράψιμο
ρ.σ.π.png
ρ.σ.π.png (23.72 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5610
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ραντεβού στον περίκυκλο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 16, 2018 10:52 am

Η διχοτόμος της γωνίας A του τριγώνου ABC ως γνωστό διέρχεται από το νότιο πόλο , έστω S, του κύκλου (A,B,C).

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η TP είναι φορέας της διχοτόμου του τριγώνου TBC.

Ας είναι O το κέντρο του κύκλου (A,B,C) και E το σημείο τομής της TC με τον κύκλο (A,AC).

Τα τρίγωνα OBA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBE είναι ισογώνια γιατί η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της αντίστοιχης επικέντρου .

Συνεπώς το τρίγωνο CEB είναι ισοσκελές με κορυφή το C και η διχοτόμος της

γωνίας της κορυφής αυτής είναι μεσοκάθετός στη βάση του EB με άμεση συνέπεια

PB = PE.
Ραντεβού στο περίκυκλο_2.png
Ραντεβού στο περίκυκλο_2.png (37.37 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές
Μετά απ’ αυτά : \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat \theta  = \widehat \omega  \hfill \\ 
  \widehat \phi  = \widehat \xi  \hfill \\ 
  \widehat \xi  = \widehat \omega  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat \theta  = \widehat \phi και άρα η TP θα διέρχεται από το νότιο πόλο S.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5610
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ραντεβού στον περίκυκλο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 16, 2018 11:06 am

Έστω E το κοινό σημείο τομής της TC με τον κύκλο (A,AB).

Οι χορδές AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT του κύκλου (A,B,C) είναι ίσες άρα: \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} .

Ακόμα για τα αμβλυγώνια τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AEC είναι AB = AE\,\, και η AC κοινή.

Συνεπώς είτε είναι ίσα, είτε \widehat {AEC} + \widehat {ABC} = 180^\circ ( άτοπο) , άρα είναι ίσα και έτσι

τα τόξαPB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PE του κύκλου (A,AB) να είναι ίσα .
Ραντεβού στο περίκυκλο_ok.png
Ραντεβού στο περίκυκλο_ok.png (36.35 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές

Δηλαδή το P είναι έγκεντρο του \vartriangle TBC με άμεση συνέπεια οι διχοτόμοι των

γωνιών \widehat {BAC}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {TBC}\, να συντρέχουν στο νότιο πόλο του κύκλου (A,B,C).


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1640
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ραντεβού στον περίκυκλο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Απρ 16, 2018 2:08 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 10:00 pm
Ραντεβού στον κύκλο.pngΣε τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB<AC , ο κύκλος (A,AB) τέμνει την AC στο P και

τον περίκυκλο του τριγώνου στο T . Δείξτε ότι η ευθεία TP και η διχοτόμος της \hat{A}

τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του τριγώνου .
Η TP τέμενει τον περίκυκλο του τριγώνου ABC στο σημείο S
Θα αποδείξω ότι η AS είναι η διχοτόμος του τριγώνου ABC
Ισχύουν \hat{ATP}=\hat{TAP}=\hat{\nu },\hat{ABP}=\hat{APB}=\hat{k },\hat{BAS}=\hat{\omega },\hat{SAC}=\hat{\phi },
Στο τρίγωνο TBP,(\kappa +\omega -\nu )+(\kappa +\nu )+\omega =180^{0}\Leftrightarrow \breve{BS}+\check{AB}+\check{AT}=180^{0}\Leftrightarrow TPOS=2R\Leftrightarrow \hat{\omega }=\hat{\phi }




Γιάννης
Συνημμένα
Ραντεβού στον περίκυκλο.png
Ραντεβού στον περίκυκλο.png (131.55 KiB) Προβλήθηκε 31 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης