Συγχορδία

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13277
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Συγχορδία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 02, 2018 1:56 pm

Συγχορδία.png
Συγχορδία.png (18.8 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές
Δύο κύκλοι (O), (K) τέμνονται στα A και B. H OB τέμνει τον κύκλο (K) στο C και η KB τον (O) στο D.

Από το B φέρνω παράλληλη προς τη CD που επανατέμνει τον κύκλο (O) στο P. Να δείξετε ότι BP=AD.

Ας αφήσουμε ένα 24ωρο στους μαθητές.


Λέξεις Κλειδιά:
τεμνόμενοι-κύκλοι
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1835
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ορέστης Λιγνός

Re: Συγχορδία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Απρ 02, 2018 10:09 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 02, 2018 1:56 pm
Συγχορδία.png
Δύο κύκλοι (O), (K) τέμνονται στα A και B. H OB τέμνει τον κύκλο (K) στο C και η KB τον (O) στο D.

Από το B φέρνω παράλληλη προς τη CD που επανατέμνει τον κύκλο (O) στο P. Να δείξετε ότι BP=AD.

Ας αφήσουμε ένα 24ωρο στους μαθητές.
Γεια σου Γιώργο!

Είναι OD=OB, KB=KC \Rightarrow \widehat{DOC}=\widehat{DOB}=180^\circ-2\widehat{DBO}=180^\circ-2\widehat{CBK}

=\widehat{BKC}=\widehat{DKC} \Rightarrow \widehat{DOC}=\widehat{DKC} \Rightarrow DOKC εγγράψιμο.

Οπότε, συνδυάζοντας ότι DC \parallel PB, \widehat{BOK}=\widehat{COK}=\widehat{CDK}=\widehat{CDB}=\widehat{DBP} \Rightarrow \widehat{BOK}=\widehat{DBP} (1).

Επίσης OB=OA,KB=KA \Rightarrow OK μεσοκάθετος της AB, οπότε 2\widehat{BDA}=\widehat{BOA}=2\widehat{BOK}=2\widehat{DBP} \Rightarrow

\widehat{BDA}=\widehat{DBP}=\widehat{DAP} \Rightarrow BD \parallel AP.

Έτσι, το PDBA είναι τραπέζιο, και αφού εγγράφεται, είναι ισοσκελές. Δηλαδή, AD=PB.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9853
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συγχορδία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 02, 2018 10:13 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Απρ 02, 2018 10:09 pm
george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 02, 2018 1:56 pm
 Συγχορδία.png
Δύο κύκλοι (O), (K) τέμνονται στα A και B. H OB τέμνει τον κύκλο (K) στο C και η KB τον (O) στο D.

Από το B φέρνω παράλληλη προς τη CD που επανατέμνει τον κύκλο (O) στο P. Να δείξετε ότι BP=AD.

Ας αφήσουμε ένα 24ωρο στους μαθητές.
Γεια σου Γιώργο!

Είναι OD=OB, KB=KC \Rightarrow \widehat{DOC}=\widehat{DOB}=180^\circ-2\widehat{DBO}=180^\circ-2\widehat{CBK}

=\widehat{BKC}=\widehat{DKC} \Rightarrow \widehat{DOC}=\widehat{DKC} \Rightarrow DOKC εγγράψιμο.

Οπότε, συνδυάζοντας ότι DC \parallel PB, \widehat{BOK}=\widehat{COK}=\widehat{CDK}=\widehat{CDB}=\widehat{DBP} \Rightarrow \widehat{BOK}=\widehat{DBP} (1).

Επίσης OB=OA,KB=KA \Rightarrow OK μεσοκάθετος της AB, οπότε 2\widehat{BDA}=\widehat{BOA}=2\widehat{BOK}=2\widehat{DBP} \Rightarrow

\widehat{BDA}=\widehat{DBP}=\widehat{DAP} \Rightarrow BD \parallel AP.

Έτσι, το PDBA είναι τραπέζιο, και αφού εγγράφεται, είναι ισοσκελές. Δηλαδή, AD=PB.
:coolspeak:


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες