Διχοτομητής

KARKAR · #1

: Διχοτομητής.png (9.43 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , (\hat{A}=90^0)$ , είναι : AB>AC

. Εντοπίστε σημεία P,S

των πλευρών CA,CB

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : CP=PS

και

.

Η άσκηση είναι για juniors και μόνο αυτοί δικαιούνται να ανεβάσουν λύση το Σαββατοκύριακο .

#2

Αφού πέρασε η προθεσμία που έβαλε ο Θανάσης και μάς ανάγκασε να μένουμε ως τα μεσάνυχτα μπροστά τον υπολογιστή μας, ας δώσουμε μια προσέγγιση. Ελπίζω η επόμενη προθεσμία να μην λήγει σε ώρα έναρξης σκοπιάς "γερμανικού τύπου¨.

: 25-03-2018 Γεωμετρία β.jpg (70.94 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

$\displaystyle \left( {CPS} \right) = \left( {ABPS} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left( {CPS} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{CP \cdot CS}}{{CA \cdot CB}} = \frac{1}{2}$ (1).

Έστω CS = x

, $\displaystyle \widehat C = \widehat {CSP} = \varphi$ οπότε

$\displaystyle \frac{{CP}}{{\eta \mu \varphi }} = \frac{x}{{\eta \mu \left( {180^\circ - 2\varphi } \right)}} \Leftrightarrow CP = x \cdot \frac{{\eta \mu \varphi }}{{\eta \mu 2\varphi }} \Leftrightarrow CP = \frac{x}{{2\sigma \upsilon \nu \varphi }}$ .

H (1) γίνεται $\displaystyle \frac{{CP \cdot CS}}{{CA \cdot CB}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{x^2}}}{{2\sigma \upsilon \nu \varphi }}}}{{\sigma \upsilon \nu \varphi \cdot C{B^2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} = C{B^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi \Leftrightarrow x = CB\sigma \upsilon \nu \varphi$ .

Οπότε $\displaystyle CP = \frac{{CB}}{2}$ . Το

είναι κατασκευάσιμο, οπότε και το

.

Για να είναι εσωτερικό στην

το

πρέπει $\displaystyle AC > \frac{{BC}}{2} \Leftrightarrow AC > AM$ , όπου

μέσο του

, δηλαδή $\displaystyle \varphi < 60^\circ$ .

#3

: Διχοτομητής.png (19.51 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές

Γράφω τον κύκλο (C,CB)

που τέμνει την ευθεία

στο

.

Η προβολή

του

στη

και το μέσο

του

ορίζουν τον διχοτομητή που θέλουμε.

Αλλιώς :

Πάνω στη

θεωρώ σημείο

, ώστε

. Η μεσοκάθετη στο

τέμνει την

στο

.

Ορέστης Λιγνός · #4

: karkar.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές

Έστω

το μέσο της

.

Τότε, $(CPS)=(APSB) \Rightarrow (CPS)=\dfrac{(ABC)}{2}=(CAM)$ , επομένως (CPS)=(CAM)

(1).

Αφού όμως MC=MA, PC=PS

και $\widehat{PCS}=\widehat{PSC}=\widehat{CAM}=\widehat{C}$ , τα τρίγωνα $\vartriangle CPS, \vartriangle CAM$ είναι όμοια.

Από (1) λοιπόν, τα παραπάνω τρίγωνα είναι ίσα. Άρα, $PC=MC=\dfrac{BC}{2}$ , και επομένως προσδιορίστηκε το σημείο

.

Παίρνουμε τώρα τον κύκλο (P,PC)

και το σημείο που θα κόψει την

είναι το

.

KARKAR · #5

: Διχοτομητής.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές

Φέροντας τη μεσοκάθετο

, πρέπει : $(NPC)=\dfrac{(ABC)}{4}$ . Αλλά

τα τρίγωνα NPC,ABC

είναι όμοια , άρα : $CP=\dfrac{a}{2}$ ...

Διχοτομητής

Διχοτομητής

Re: Διχοτομητής

Re: Διχοτομητής

Re: Διχοτομητής

Re: Διχοτομητής

Μέλη σε σύνδεση