Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 28, 2018 5:37 pm

Κάθετες σε ορθογώνιο τρίγωνο.png
Κάθετες σε ορθογώνιο τρίγωνο.png (10.49 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές
Θεωρούμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC, το μέσο M της AB και E ένα σημείο της υποτείνουσας BC

ώστε CE=2EB. Να δείξετε ότι \displaystyle AE \bot CM.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1900
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Φεβ 28, 2018 6:48 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Φεβ 28, 2018 5:37 pm
Κάθετες σε ορθογώνιο τρίγωνο.png
Θεωρούμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC, το μέσο M της AB και E ένα σημείο της υποτείνουσας BC

ώστε CE=2EB. Να δείξετε ότι \displaystyle AE \bot CM.
Καλησπέρα Γιώργο
Εστω ότι CM\perp AE θα αποδείξω ότι CE=2EB
Στο τρίγωνο CMB με τέμνουσα ANE από το θεώρημα του Μενελάου είναι \dfrac{CN}{NM}.\dfrac{AM}{AB}\dfrac{BE}{CE}=1\Leftrightarrow \dfrac{CN}{NM}=\dfrac{2CE}{EB},(1)
Από το ορθογώνιο τρίγωνο AMN,c^{2}=CN.CM\Leftrightarrow CN=\dfrac{2c\sqrt{5}}{5},(2), NM=\dfrac{c\sqrt{5}}{10},(3), (2),(3)\Rightarrow \dfrac{CN}{NM}=4,(4) (1),(4)\Rightarrow \dfrac{2CE}{EB}=4\Leftrightarrow CE=2BE




Γιάννης
Συνημμένα
Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές.png
Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές.png (68.16 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11719
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 28, 2018 9:29 pm

Άφθονες λύσεις του όμορφου αυτού προβλήματος , μπορείτε να βρείτε εδώ .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7355
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Φεβ 28, 2018 11:21 pm

καθετότητα έκπληξη.png
καθετότητα έκπληξη.png (30 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές
Φέρνω από το B παράλληλη στη AC που τέμνει την ευθεία AE στο T.

Θέτω AM = k \Rightarrow AC = 2k. Επειδή CE = 2EB, θα είναι και

AC = 2BT \Rightarrow \boxed{BT = k = AM} . Τα ορθογώνια τρίγωνα AMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BAT είναι ίσα

Ως έχοντα τις κάθετες πλευρές τους ίσες , οπότε \boxed{\widehat \theta  = \widehat T} .

Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο SMBT είναι εγγράψιμο και άρα \boxed{CM \bot AT}

Παρατήρηση : Βλέπω την έχει και Αλέκος ( στην παραπομπή του KARKAR ) αλλά την αφήνω για το κόπο

Συγνώμη Αλέξανδρε.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1292
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Μαρ 01, 2018 12:38 am

Kαλημέρα και καλό Μάρτη σε όλους !
1-3-18 Κάθετες...PNG
1-3-18 Κάθετες...PNG (5.59 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές
Φέρω EZ\parallel CM . Αν BZ=1 τότε με τα Θ. Θαλή και Πυθαγόρειο είναι

MZ=2,AB=AC=6 ,BC=6\sqrt{2} ,AE=4\sqrt{2} ,EB=2\sqrt{2}.

Με τον Ν. συνημιτόνων στα τρίγωνα ACE και BEZ παίρνουμε AE^{2}=20 ,EZ^{2}=5

οπότε AZ^{2}=25=AE^{2}+EZ^{2}\Rightarrow \widehat{AEZ}=90^{0} άρα και CM \perp AE
Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7355
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μαρ 01, 2018 11:20 am

Ισοσκελές ορθογώνιο και καθετότητα_1.png
Ισοσκελές ορθογώνιο και καθετότητα_1.png (18.57 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

Φέρνω από το E παράλληλη στην AB που τέμνει την AC στο Z και την AM στο

H που είναι μέσο του EZ , αφού AM = MB . Θέτω AB = AC = 6k\,\,,\,\,k > 0.

Προφανώς θα είναι ,AM = MB = 3k\,\,,\,\,CZ = ZE = 4k\,\,,\,\,ZA = 2k\,\,. Άρα \boxed{AZ = ZH = 2k}

Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι η γωνία \widehat \theta  = 45^\circ  \Rightarrow \boxed{AH \bot BC} . Μα τότε το H

είναι το ορθόκεντρο του \vartriangle AEC και άρα , \boxed{CS \bot AE}.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1862
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μαρ 02, 2018 12:23 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Φεβ 28, 2018 5:37 pm
Κάθετες σε ορθογώνιο τρίγωνο.png
Θεωρούμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC, το μέσο M της AB και E ένα σημείο της υποτείνουσας BC

ώστε CE=2EB. Να δείξετε ότι \displaystyle AE \bot CM.

Με \displaystyle AB = BZ = b \Rightarrow E κ.βάρους του \displaystyle \vartriangle ACZ \Rightarrow AENδιάμεσος του \displaystyle \vartriangle CAZ \Rightarrow \angle x = \angle y

Ακόμη \displaystyle C{A^2} = AM \cdot AZ \Rightarrow {\text{ }}\angle x = \angle \omega .Άρα \displaystyle \boxed{\angle y = \angle \omega } που αποδεικνύει το ζητούμενο
Συνημμένα
k.s.o.i.png
k.s.o.i.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κάθετες σε ορθογώνιο και ισοσκελές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 02, 2018 11:40 am

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις! Θα δώσω άλλη μία, που δεν είδα στην παραπομπή (εκτός κι αν μου διέφυγε).
Παρασυρόμενος μάλιστα από τη λύση μου έφερα στο αρχικό σχήμα την ME αν και δεν χρειαζόταν από την εκφώνηση.
Κάθετες σε ορθογώνιο τρίγωνο.β.png
Κάθετες σε ορθογώνιο τρίγωνο.β.png (11 KiB) Προβλήθηκε 489 φορές
Κατασκευάζω το τετράγωνο ABDC. Επειδή CD=2MB, CE=2EB, η MD διέρχεται από το σημείο E.

Λόγω του ισοσκελούς MCD και της παραλληλίας AB||CD, οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες με \omega. Αλλά \widehat C=\widehat B=45^0 και

\displaystyle \frac{{AC}}{{MB}} = \frac{{CE}}{{EB}} = 2, άρα τα τρίγωνα CAE, BME είναι όμοια, οπότε \omega=\varphi και \boxed{AE \bot CM}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης