Εφηβική γωνία

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Εφηβική γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 24, 2017 7:43 pm

Γειτονιά_2_εκφώνηση.png
Γειτονιά_2_εκφώνηση.png (15.43 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές
Στο σχήμα που βλέπετε η BD είναι διάμεσος , \widehat \phi  = 45^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega  = \widehat \theta . Βρείτε τη γωνία \widehat A.


Παρατήρηση : Έχει λύση χωρίς τριγωνομετρία με ύλη Α λυκείου αλλά κάθε λύση προφανώς δεκτή.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3330
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Εφηβική γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Οκτ 24, 2017 8:31 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Οκτ 24, 2017 7:43 pm


Στο σχήμα που βλέπετε η BD είναι διάμεσος , \widehat \phi  = 45^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega  = \widehat \theta . Βρείτε τη γωνία \widehat A.


Παρατήρηση : Έχει λύση χωρίς τριγωνομετρία με ύλη Α λυκείου αλλά κάθε λύση προφανώς δεκτή.
Καλησπέρα Νίκο.
Εφηβική-γωνία.png
Εφηβική-γωνία.png (19.22 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές
Είναι A\widehat BC = {135^ \circ }, οπότε αν φέρω τον περίκυκλο (O) του  \triangleleft ABC τότε το  \triangleleft OAC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Ισχύει  \triangleleft BDA\mathop  = \limits^{\Pi  - \Gamma  - \Pi }  \triangleleft BDO, συνεπώς το  \triangleleft OAB είναι ισόπλευρο και B\widehat AC = {60^ \circ } - {45^ \circ } = {15^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εφηβική γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 24, 2017 8:35 pm

εφηβική.png
εφηβική.png (22.81 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές
Λόγω της ισότητας των πράσινων γωνιών , η AB εφάπτεται του περικύκλου του DBC ,

η δε BD εφάπτεται του περικύκλου του DMC ( M μέσο της BC ) , με αποτέλεσμα :

BD^2=BM\cdot BC , επομένως : BD=BO=DO . Συνεπώς : \widehat{OBD}=60^0 ,

άρα οι πράσινες είναι τριαντάρες και η εφηβική 15^0 .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εφηβική γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Οκτ 24, 2017 8:36 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Οκτ 24, 2017 7:43 pm

Παρατήρηση : Έχει λύση χωρίς τριγωνομετρία με ύλη Α λυκείου αλλά κάθε λύση προφανώς δεκτή.
Καλησπέρα σε όλους. Απλά και μόνο για του λόγου (του Νίκου) το αληθές.

Από νόμο Ημιτόνων στα ABD, BDC  \displaystyle \frac{{AD}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{BD}}{{\eta \mu \left( {45^\circ  - \omega } \right)}},\;\;\;\frac{{DC}}{{\eta \mu \left( {45^\circ  + \omega } \right)}} = \frac{{BD}}{{\eta \mu \omega }}

άρα  \displaystyle \frac{{\eta \mu \omega }}{{\eta \mu \left( {45^\circ  - \omega } \right)}} = \;\frac{{\eta \mu \left( {45^\circ  + \omega } \right)}}{{\eta \mu \omega }} \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}\omega  = \frac{1}{2}\left( {\sigma \upsilon \nu \omega  - \eta \mu \omega } \right)\left( {\sigma \upsilon \nu \omega  + \eta \mu \omega } \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow 3\eta {\mu ^2}\omega  = \sigma \upsilon {\nu ^2}\omega  \Leftrightarrow \sigma \varphi \omega  = \sqrt 3  \Leftrightarrow \omega  = 30^\circ , αφού είναι οξεία γωνία, άρα A= 15^\circ.

edit: Όταν ξεκίνησα να γράφω δεν είχε απαντήσει ακόμα κανείς...


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εφηβική γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Οκτ 24, 2017 8:41 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Οκτ 24, 2017 7:43 pm
Γειτονιά_2_εκφώνηση.png

Στο σχήμα που βλέπετε η BD είναι διάμεσος , \widehat \phi  = 45^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega  = \widehat \theta . Βρείτε τη γωνία \widehat A.


Παρατήρηση : Έχει λύση χωρίς τριγωνομετρία με ύλη Α λυκείου αλλά κάθε λύση προφανώς δεκτή.

Έστω \displaystyle Z συμμετρικό του \displaystyle A ως προς \displaystyle CB.Επειδή \displaystyle \angle x + \theta  = {45^0} = \angle EBA \Rightarrow \vartriangle ZBA ορθογώνιο-ισοσκελές

Άρα \displaystyle ZBDA εγγράψιμο \displaystyle  \Rightarrow ZD \bot AC \Rightarrow DE = \frac{{ZA}}{2}

Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle EAC \Rightarrow DE = \frac{{AC}}{2} οπότε \displaystyle ZA = ZC = AC \Rightarrow \angle \theta  = {30^0} \Rightarrow \boxed{x = {{15}^0}}
e.g.png
e.g.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης