Καθετότητα διαμέσου

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Καθετότητα διαμέσου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιούλ 25, 2017 8:14 pm

Καθετότητα διαμέσου.png
Καθετότητα διαμέσου.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές
Δίδεται τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα

B,\,\,C τέμνονται στο S. Έστω D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E οι προβολές του S στις ευθείες

AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC.

Να δείξετε ότι η ευθεία της διαμέσου AM είναι κάθετη στη DE.


Κάθε λύση ευπρόσδεκτη.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Καθετότητα διαμέσου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιούλ 25, 2017 10:01 pm

Μια λύση εκτός φακέλου:

Φέρνουμε την AS. Έχουμε πως η AS είναι συμμετροδιάμεσος του ABC στην κορυφή A. Επομένως \widehat{SAD}=\widehat{MAE}.

Από το εγγράψιμο ADSE, έχουμε πως \widehat{SAD}=\widehat{DES}.

Επομένως \widehat{MAE}=\widehat{DES}.

Όμως έχουμε πως \widehat{DES}=90^o-\widehat{AED}.

Επομένως έχουμε πως \widehat{MAE}=90^o-\widehat{AED}, άρα έχουμε πως AM\perp DE.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα διαμέσου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 25, 2017 11:01 pm

Doloros έγραψε:Καθετότητα διαμέσου.png

Δίδεται τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα

B,\,\,C τέμνονται στο S. Έστω D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E οι προβολές του S στις ευθείες

AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC.

Να δείξετε ότι η ευθεία της διαμέσου AM είναι κάθετη στη DE.


Κάθε λύση ευπρόσδεκτη.
Καθετότητα διαμέσου.png
Καθετότητα διαμέσου.png (21.56 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές
Τα BMSD, CMSE είναι εγγράψιμα, οπότε: \displaystyle{S\widehat DM = S\widehat BM = S\widehat CM = S\widehat EM} και

\displaystyle{D\widehat SE = D\widehat SM + E\widehat SM = \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A = D\widehat ME}, άρα το MDSE είναι παραλληλόγραμμο,

οι DM, EM είναι κάθετες στις AC, AB αντίστοιχα, το M είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ADE και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης