Σελίδα 1 από 1

Ίσα τμήματα 1

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 22, 2017 8:20 pm
από george visvikis
Ίσα τμήματα 1.png
Ίσα τμήματα 1.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 811 φορές
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC και E, F οι προβολές του στις AB, 
 AC αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F) στα E, F τέμνονται στο S. Να δείξετε ότι SB=SC

Re: Ίσα τμήματα 1

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:51 am
από Μιχάλης Τσουρακάκης
george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC και E, F οι προβολές του στις AB, 
 AC αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F) στα E, F τέμνονται στο S. Να δείξετε ότι SB=SC
Καλημέρα...

Ας είναι \displaystyle{H,I} οι προβολές του \displaystyle{S} στις \displaystyle{AB,AC} αντίστοιχα

Λόγω των εφαπτόμενων \displaystyle{ES,FS} κι επειδή \displaystyle{EM//HS,MF//SI} οι γωνίες \displaystyle{x} όπως και οι \displaystyle{y} θα είναι ίσες

Άρα \displaystyle{\vartriangle AEM \cong \vartriangle ESH} και \displaystyle{\vartriangle AFM \cong \vartriangle SFI} οπότε \displaystyle{\frac{{AM}}{{ES}} = \frac{{EM}}{{EH}}} και \displaystyle{\frac{{AM}}{{ES}} = \frac{{FM}}{{FI}}}

Έτσι \displaystyle{\frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{EH}}{{FI}}(1)}.Αλλά \displaystyle{2\left( {ABM} \right) = 2\left( {AMC} \right) \Rightarrow AB \cdot EM = AC \cdot MF \Rightarrow \frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{AC}}{{AB}}(2)}

Από \displaystyle{(1),(2) \Rightarrow \boxed{\frac{{AB}}{{FI}} = \frac{{AC}}{{EH}}}} και σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα \displaystyle{ \Rightarrow SM \bot BC \Rightarrow \boxed{SB = SC}}
Ίσα τμήματα.png
Ίσα τμήματα.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

Re: Ίσα τμήματα 1

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 25, 2017 4:25 am
από Doloros
george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC και E, F οι προβολές του στις AB, 
 AC αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F) στα E, F τέμνονται στο S. Να δείξετε ότι SB=SC
ϊσα τμήματα 1_new.png
ϊσα τμήματα 1_new.png (37.05 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές
Έστω T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P οι τομές των ευθειών FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM με τις ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο ETPF είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου TP και κέντρου S. Η ευθεία BC τέμνει το ημικύκλιο στα {B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1} και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το M μέσω και της χορδής {B_1}{C_1} οπότε η SM

είναι μεσοκάθετος στο {B_1}{C_1} και στο BC άρα SB = SC.

Re: Ίσα τμήματα 1

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 26, 2017 9:26 pm
από rek2
Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC και E, F οι προβολές του στις AB, 
 AC αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F) στα E, F τέμνονται στο S. Να δείξετε ότι SB=SC

ϊσα τμήματα 1_new.png

Έστω T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P οι τομές των ευθειών FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM με τις ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο ETPF είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου TP και κέντρου S. Η ευθεία BC τέμνει το ημικύκλιο στα {B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1} και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το M μέσω και της χορδής {B_1}{C_1} οπότε η SM

είναι μεσοκάθετος στο {B_1}{C_1} και στο BC άρα SB = SC.
:10sta10:

Re: Ίσα τμήματα 1

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 26, 2017 9:40 pm
από Doloros
rek2 έγραψε:
Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC και E, F οι προβολές του στις AB, 
 AC αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F) στα E, F τέμνονται στο S. Να δείξετε ότι SB=SC

ϊσα τμήματα 1_new.png

Έστω T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P οι τομές των ευθειών FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM με τις ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο ETPF είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου TP και κέντρου S. Η ευθεία BC τέμνει το ημικύκλιο στα {B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1} και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το M μέσω και της χορδής {B_1}{C_1} οπότε η SM

είναι μεσοκάθετος στο {B_1}{C_1} και στο BC άρα SB = SC.
:10sta10:

Σ ευχαριστώ ομορφόπαιδο από καρδιάς!

Re: Ίσα τμήματα 1

Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 01, 2017 8:04 pm
από george visvikis
Ευχαριστώ το Μιχάλη και το Νίκο για τις εντυπωσιακές λύσεις τους! Ας δούμε και μία στοιχειώδη προσέγγιση.
Φέρνω από το S κάθετη στην SM που τέμνει τις AB, AC στα B', C' και έστω N το κοινό σημείο των AM, B'C'.
Ίσα τμήματα 1.b.png
Ίσα τμήματα 1.b.png (25.43 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές
Από τις εφαπτόμενες και από τα εγγράψιμα τετράπλευρα MEB'S, MFC'S οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και το ίδιο συμβαίνει

και με τις πράσινες. Άρα οι NB', NC' εφάπτονται αντίστοιχα στους κύκλους (A, M, B'), (A, M, C'), απ' όπου προκύπτει ότι

το N είναι μέσο του B'C' κι επειδή το M είναι μέσο του BC, θα είναι BC||B'C', άρα η SM είναι μεσοκάθετη του BC και

το ζητούμενο έπεται.