Ίσα τμήματα 1

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσα τμήματα 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 22, 2017 8:20 pm

Ίσα τμήματα 1.png
Ίσα τμήματα 1.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC και E, F οι προβολές του στις AB, 
 AC αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F) στα E, F τέμνονται στο S. Να δείξετε ότι SB=SC



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2050
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:51 am

george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC και E, F οι προβολές του στις AB, 
 AC αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F) στα E, F τέμνονται στο S. Να δείξετε ότι SB=SC
Καλημέρα...

Ας είναι \displaystyle{H,I} οι προβολές του \displaystyle{S} στις \displaystyle{AB,AC} αντίστοιχα

Λόγω των εφαπτόμενων \displaystyle{ES,FS} κι επειδή \displaystyle{EM//HS,MF//SI} οι γωνίες \displaystyle{x} όπως και οι \displaystyle{y} θα είναι ίσες

Άρα \displaystyle{\vartriangle AEM \cong \vartriangle ESH} και \displaystyle{\vartriangle AFM \cong \vartriangle SFI} οπότε \displaystyle{\frac{{AM}}{{ES}} = \frac{{EM}}{{EH}}} και \displaystyle{\frac{{AM}}{{ES}} = \frac{{FM}}{{FI}}}

Έτσι \displaystyle{\frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{EH}}{{FI}}(1)}.Αλλά \displaystyle{2\left( {ABM} \right) = 2\left( {AMC} \right) \Rightarrow AB \cdot EM = AC \cdot MF \Rightarrow \frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{AC}}{{AB}}(2)}

Από \displaystyle{(1),(2) \Rightarrow \boxed{\frac{{AB}}{{FI}} = \frac{{AC}}{{EH}}}} και σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα \displaystyle{ \Rightarrow SM \bot BC \Rightarrow \boxed{SB = SC}}
Ίσα τμήματα.png
Ίσα τμήματα.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7887
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιούλ 25, 2017 4:25 am

george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC και E, F οι προβολές του στις AB, 
 AC αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F) στα E, F τέμνονται στο S. Να δείξετε ότι SB=SC
ϊσα τμήματα 1_new.png
ϊσα τμήματα 1_new.png (37.05 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές
Έστω T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P οι τομές των ευθειών FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM με τις ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο ETPF είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου TP και κέντρου S. Η ευθεία BC τέμνει το ημικύκλιο στα {B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1} και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το M μέσω και της χορδής {B_1}{C_1} οπότε η SM

είναι μεσοκάθετος στο {B_1}{C_1} και στο BC άρα SB = SC.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1930
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ίσα τμήματα 1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Ιούλ 26, 2017 9:26 pm

Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC και E, F οι προβολές του στις AB, 
 AC αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F) στα E, F τέμνονται στο S. Να δείξετε ότι SB=SC

ϊσα τμήματα 1_new.png

Έστω T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P οι τομές των ευθειών FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM με τις ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο ETPF είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου TP και κέντρου S. Η ευθεία BC τέμνει το ημικύκλιο στα {B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1} και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το M μέσω και της χορδής {B_1}{C_1} οπότε η SM

είναι μεσοκάθετος στο {B_1}{C_1} και στο BC άρα SB = SC.
:10sta10:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7887
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα 1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 26, 2017 9:40 pm

rek2 έγραψε:
Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου ABC και E, F οι προβολές του στις AB, 
 AC αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F) στα E, F τέμνονται στο S. Να δείξετε ότι SB=SC

ϊσα τμήματα 1_new.png

Έστω T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P οι τομές των ευθειών FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM με τις ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο ETPF είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου TP και κέντρου S. Η ευθεία BC τέμνει το ημικύκλιο στα {B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1} και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το M μέσω και της χορδής {B_1}{C_1} οπότε η SM

είναι μεσοκάθετος στο {B_1}{C_1} και στο BC άρα SB = SC.
:10sta10:

Σ ευχαριστώ ομορφόπαιδο από καρδιάς!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα τμήματα 1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 01, 2017 8:04 pm

Ευχαριστώ το Μιχάλη και το Νίκο για τις εντυπωσιακές λύσεις τους! Ας δούμε και μία στοιχειώδη προσέγγιση.
Φέρνω από το S κάθετη στην SM που τέμνει τις AB, AC στα B', C' και έστω N το κοινό σημείο των AM, B'C'.
Ίσα τμήματα 1.b.png
Ίσα τμήματα 1.b.png (25.43 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές
Από τις εφαπτόμενες και από τα εγγράψιμα τετράπλευρα MEB'S, MFC'S οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και το ίδιο συμβαίνει

και με τις πράσινες. Άρα οι NB', NC' εφάπτονται αντίστοιχα στους κύκλους (A, M, B'), (A, M, C'), απ' όπου προκύπτει ότι

το N είναι μέσο του B'C' κι επειδή το M είναι μέσο του BC, θα είναι BC||B'C', άρα η SM είναι μεσοκάθετη του BC και

το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης