Αριθμητικός μέσος

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Αριθμητικός μέσος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 09, 2017 8:17 pm

Αριθμητικός μέσος.png
Αριθμητικός μέσος.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές
Από το μέσο M της πλευράς AB τριγώνου ABC φέρνουμε παράλληλη προς τη διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας \widehat C

που τέμνει την AC στο E. Να δείξετε ότι EC=\dfrac{a+b}{2}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Αριθμητικός μέσος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιούλ 09, 2017 9:23 pm

Καλησπέρα.


Έστω Cx η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας \widehat{C}.

Έστω επίσης L ένα σημείο στην προέκταση της BC (προς το C).

Προεκτείνουμε την AE (προς το E) κατά τμήμα AE=EK.

Τότε, στο τρίγωνο \vartriangle BKA, η EM ενώνει μέσα πλευρών, οπότε BK \parallel ME \parallel Cx \Rightarrow BK \parallel Cx.

Έτσι, \widehat{BKC}=\widehat{KCx}=\widehat{xCM}=\widehat{KBC} \Rightarrow \widehat{BKC}=\widehat{KBC}

\Rightarrow KC=BC=a \Rightarrow a=KC=KA+AC=2EA+b \Rightarrow AE=\dfrac{a-b}{2}.

Τελικά, EC=EA+AC=\dfrac{a-b}{2}+b=\dfrac{a+b}{2}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1442
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Αριθμητικός μέσος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιούλ 09, 2017 10:20 pm

Γιώργο και Ορέστη καλησπέρα !
9-7-17 Αριθμητικός  μέσος.PNG
9-7-17 Αριθμητικός μέσος.PNG (9.05 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές
Η διχοτόμος CN της B\widehat{C}A είναι CN\perp EMH άρα EC=CH=a-BH ..(1).

Ακόμη AT\parallel BC οπότε τα τρίγωνα MAT, BHM είναι ίσα , ενώ ίσες είναι και οι γωνίες \omega

έτσι προκύπτει AE=AT=BH και τότε CE=AC+AE=b+BH ..(2).

Με πρόσθεση των (1) ,(2) παίρνουμε 2EC=a+b \Leftrightarrow EC=\dfrac{a+b}{2}.

Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7976
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αριθμητικός μέσος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιούλ 09, 2017 10:42 pm

Αριθμητικός μέσος _Βισβίκης_1.png
Αριθμητικός μέσος _Βισβίκης_1.png (22.15 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές
Φέρνω την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας \widehat C που τέμνει τη ME στο K. Η ευθεία

EM τέμνει τη BC στο N. Προφανώς αφού CK \bot EN το τρίγωνο CEN είναι

ισοσκελές. Αν φέρω από το A παράλληλη στην EN μέχρι να κόψει τη BC στο S

θα είναι και το \vartriangle CAS ισοσκελές ενώ το ASNE θα είναι ισοσκελές τραπέζιο .

Στο \vartriangle BSA αφού MN//AS το δε M μέσο του AB θα είναι και το N μέσο του AS.

Αν λοιπόν AE = x θα είναι \boxed{BN = NS = EA = x}.

Είναι x = NS = \dfrac{{BS}}{2} = \dfrac{{BC - SC}}{2} = \dfrac{{a - b}}{2} \Rightarrow \boxed{EC = x + b = \dfrac{{a + b}}{2}}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αριθμητικός μέσος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 10, 2017 10:25 am

Ορέστη, Γιώργο, Νίκο, σας ευχαριστώ για τις λύσεις. Η δική μου είναι ίδια με του Γιώργου.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2091
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Αριθμητικός μέσος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Ιούλ 10, 2017 3:16 pm

george visvikis έγραψε:Αριθμητικός μέσος.png
Από το μέσο M της πλευράς AB τριγώνου ABC φέρνουμε παράλληλη προς τη διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας \widehat C

που τέμνει την AC στο E. Να δείξετε ότι EC=\dfrac{a+b}{2}.

Καλημέρα
Στην προέκταση της BC προς το C λαμβάνουμε CG=AC=b και έστω N
το σημείο τομης των BC,ME
Συνεπως ,EC=NC,γιατί \hat{NEC}=\hat{ACT}=\hat{TCG}=\hat{ENC}
και MTCN είναι παραλληλόγραμμο άρα MT=\dfrac{BG}{2}=\dfrac{a+b}{2},NC//MT,NC=MT=EC



Γιάννης
Συνημμένα
Αριθμητικός μέσος.png
Αριθμητικός μέσος.png (54 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης