Κάθετες ακτίνες

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9812
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κάθετες ακτίνες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 29, 2017 11:51 am

Κάθετες ακτίνες.png
Κάθετες ακτίνες.png (16.09 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές
Έστω P ένα κοινό σημείο δύο τεμνόμενων κύκλων με κέντρα O, K, ώστε η KP να εφάπτεται στον κύκλο (O). Μία

ευθεία που διέρχεται από το P τέμνει τους κύκλους (O), (K) στα σημεία A, 
 B αντίστοιχα. Να δείξετε ότι \displaystyle{OA \bot KB}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4052
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κάθετες ακτίνες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Απρ 29, 2017 6:37 pm

george visvikis έγραψε:Κάθετες ακτίνες.png
Έστω P ένα κοινό σημείο δύο τεμνόμενων κύκλων με κέντρα O, K, ώστε η KP να εφάπτεται στον κύκλο (O). Μία ευθεία που διέρχεται από το P τέμνει τους κύκλους (O), (K) στα σημεία A, B αντίστοιχα. Να δείξετε ότι \displaystyle{OA \bot KB}
Αν T \equiv OA \cap KB τότε \left\{ \begin{gathered} 
  \angle TAB \equiv \angle OAP\mathop  = \limits^{OA = OP} \angle OPA \\  
  \angle TBA \equiv \angle KBP\mathop  = \limits^{KB = KP} \angle KPB \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)} \angle TAB + \angle TBA = \angle OPA + \angle KPB\mathop  = \limits^{OP \bot KP} {90^0}\mathop  \Rightarrow \limits^{\vartriangle ATB}

\angle ATB = {90^0} \Rightarrow \boxed{OA \bot KB} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1911
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κάθετες ακτίνες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Απρ 29, 2017 7:17 pm

george visvikis έγραψε:Κάθετες ακτίνες.png
Έστω P ένα κοινό σημείο δύο τεμνόμενων κύκλων με κέντρα O, K, ώστε η KP να εφάπτεται στον κύκλο (O). Μία

ευθεία που διέρχεται από το P τέμνει τους κύκλους (O), (K) στα σημεία A, 
 B αντίστοιχα. Να δείξετε ότι \displaystyle{OA \bot KB}
Έστω \displaystyle{AO \cap \left( O \right) = D}

Οι κύκλοι είναι ορθογώνιοι συνεπώς \displaystyle{\phi  + \theta  = {90^0}}\displaystyle{ \Rightarrow D,C,B} συνευθειακά και \displaystyle{DP \bot AB}

\displaystyle{BC \cdot BD = BP \cdot BA \Rightarrow 2BM \cdot BD = 2BN \cdot BA \Rightarrow \frac{{BD}}{{BN}} = \frac{{BA}}{{BM}}}.Αρα σύμφωνα με το θ.Στάθης Κούτρας \displaystyle{\boxed{BK \bot AO}}
K.A.png
K.A.png (25.81 KiB) Προβλήθηκε 711 φορές


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5533
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κάθετες ακτίνες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Απρ 29, 2017 8:37 pm

Ή με άλλη αντίληψη για τη λύση επίσης ισχύει:
Αν M μέσον της AP και L μέσον της PB, τότε OP \bot KP\Rightarrow \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {KB}  = \left( {\overrightarrow {OP}  + \overrightarrow {PA} } \right)\left( {\overrightarrow {KP}  + \overrightarrow {PB} }  
\right) = \overrightarrow {MP}  \cdot \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PA}  \cdot \overrightarrow {LP}  + \overrightarrow {PA}  \cdot \overrightarrow {PB}  = - \frac{1}{2}\overrightarrow {PA}  \cdot \overrightarrow {PB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {PA}  \cdot \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PA}  \cdot \overrightarrow {PB}  = 0 \Rightarrow OA \bot KB.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7555
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κάθετες ακτίνες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Απρ 30, 2017 2:09 am

κάθετες ακτίνες_Bisbikis.png
κάθετες ακτίνες_Bisbikis.png (37.09 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές
Έστω C το σημείο τομής των ευθειών AO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BK και M το μέσο του PB.

Προφανώς PO \bot PK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KM \bot PB. Επειδή \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} ως συμπληρώματα της \widehat \omega θα

είναι αναγκαστικά και \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_4}}} οπότε το τετράπλευρο AMKC είναι εγγράψιμο, άρα

\boxed{\widehat C = 90^\circ }.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9812
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κάθετες ακτίνες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 01, 2017 8:49 am

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις. Η άσκηση κατασκευάστηκε με βάση τη λύση του Στάθη. Ας δούμε όμως και μία άλλη προσέγγιση.
Κάθετες ακτίνες.β.png
Κάθετες ακτίνες.β.png (22.68 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές
Η BK τέμνει τον κύκλο (O) κατά σειρά στα σημεία H, E. Αρκεί να δείξω ότι AE=AH.

Είναι \displaystyle{K\widehat BP = K\widehat PB = \varphi ,H\widehat AP = H\widehat PK = \theta  \Rightarrow {\omega _1} = \theta  + \varphi } (από το εγγεγραμμένο APHE)

Αλλά, \displaystyle{{\omega _2} = \theta  + \varphi } (ως εξωτερική στο τρίγωνο HAB). Άρα \boxed{\omega_1=\omega_2} και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες