Για αγόρια

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Για αγόρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 10, 2017 2:07 pm

Για  αγόρια.png
Για αγόρια.png (20.42 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές
Με αφορμή το θέμα 1 εδώ , δίνω την εξής παραλλαγή : Δύο κύκλοι με κοινό κέντρο O ,

έχουν συνευθειακές διαμέτρους τις CZ , DE . Έστω A σημείο του μεγαλύτερου

κύκλου και B σημείο του μικρότερου , στο άλλο ημιεπίπεδο της διαμετρικής ευθείας .

Αν οι ευθείες BD,BE τέμνουν τις AB,AC στα P,S αντίστοιχα , δείξτε

ότι ο κύκλος (A,O,B) διέρχεται από το μέσο του PS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Για αγόρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 10, 2017 6:46 pm

KARKAR έγραψε:Για αγόρια.pngΜε αφορμή το θέμα 1 εδώ , δίνω την εξής παραλλαγή : Δύο κύκλοι με κοινό κέντρο O ,έχουν συνευθειακές διαμέτρους τις CZ , DE . Έστω A σημείο του μεγαλύτερου κύκλου και B σημείο του μικρότερου , στο άλλο ημιεπίπεδο της διαμετρικής ευθείας .Αν οι ευθείες BD,BE τέμνουν τις AB,AC στα P,S αντίστοιχα , δείξτε ότι ο κύκλος (A,O,B) διέρχεται από το μέσο του PS .
Θανάση, επειδή η κομμώτρια μόλις με κούρεψε και στο τέλος μου είπε ότι μειάζω σαν αγόρι :) πλέον, μπορώ νομίζω να ασχοληθώ με την άσκηση για τα αγόρια

Από τις διαμέτρους CZ,DE των κύκλων \left( O,R \right),\left( O,r \right) προκύπτει ότι το APBS είναι εγγράψιμο σε κύκλο \left( M \right) (κέντρο το μέσο της διαμέτρου του PS ) και αρκεί ως ισοδύναμο πρόβλημα να δείξουμε ότι το τετράπλευρο AMOB είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
[attachment=0]Για αγόρια.png[/attachment]
\vartriangle DBE\left( {\angle DBE = {{90}^0}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{BO\;\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma } \angle DOB = 2\left( {\angle OEB} \right) \mathop  = \limits^{\angle OEB = \angle ZES\;(\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu )} 2\left( {\angle SEZ} \right) \Rightarrow \boxed{\angle DOB = 2\left( {\angle SEZ} \right)}:\left( 1 \right)

και ομοίως \vartriangle CAZ\left( {\angle CAZ = {{90}^0}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{AO\;\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma } \angle DOA = 2\left( {\angle OZA} \right) \mathop  = \limits^{\angle OZA \equiv \angle SZE} 2\left( {\angle SZE} \right) \Rightarrow \boxed{\angle DOA = 2\left( {\angle SZE} \right)}:\left( 2 \right).

\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \angle AOB = 2\left( {\angle SEZ + \angle SZE} \right) \mathop  = \limits^{\angle SEZ + \angle SZE = \angle ASB\left( {\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \;\sigma \tau o\;\vartriangle SEZ} \right)} 2\left( {\angle ASB} \right) \mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta  - \varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta \;\sigma \tau o\nu \;\left( M \right)}

\angle AMB \Rightarrow AMOB εγγράψιμο σε κύκλο και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.


Στάθης
Συνημμένα
Για αγόρια.png
Για αγόρια.png (70.95 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης