Ωραία τριχοτόμηση

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12739
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ωραία τριχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 06, 2017 2:58 pm

Ωραία  τριχοτόμηση.png
Ωραία τριχοτόμηση.png (13.13 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές
Από σημείο S της βάσης BC , τριγώνου \displaystyle ABC φέρουμε τμήματα SQ,SP ,

παράλληλα προς τις διαμέσους BM,CN αντίστοιχα . Αν L,K είναι τα

σημεία τομής της PQ με τις BM,CN , δείξτε ότι : PL=LK=KQ .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1660
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ωραία τριχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Απρ 06, 2017 4:27 pm

KARKAR έγραψε:Από σημείο S της βάσης BC , τριγώνου \displaystyle ABC φέρουμε τμήματα SQ,SP ,

παράλληλα προς τις διαμέσους BM,CN αντίστοιχα . Αν L,K είναι τα

σημεία τομής της PQ με τις BM,CN , δείξτε ότι : PL=LK=KQ .
Έστω X το σημείο τομής της BL με την CK.

Έστω Y το σημεία τομής της PS με την LB, και Z το σημείο τομής της KC με την QC.

Στο τρίγωνο ANC, εφαρμόζουμε το Θ.Μενελάου με διατέμνουσα την \overline{MXB}.
Από τις σχέσεις AM=MC, AB=2BN παίρνουμε CX=2XN.

Από τα όμοια BPY, \, BNX (PY \parallel NX) έχουμε \dfrac{PY}{NX}=\dfrac{BY}{BX} (1).

Από τα όμοια YSB, \, XCB (YS \parallel XC) έχουμε \dfrac{YS}{XC}=\dfrac{BY}{BX} (2).

Από τις (1) και (2) είναι \dfrac{PY}{NX}=\dfrac{YS}{XC} \Leftrightarrow YS=2PY (από την XC=2XN).

Όμοια, SZ=2ZQ.

Άρα, \dfrac{YS}{YP}=\dfrac{SZ}{ZQ}=2, άρα YZ \parallel ZQ.

Έτσι, \dfrac{XL}{LY}=\dfrac{XK}{KZ} (Θ. Θαλή).

όμως, XK \parallel PY \Leftrightarrow \dfrac{XL}{LY}=\dfrac{KL}{PL} \, (4) , \, LX \parallel ZQ \Leftrightarrow \dfrac{XK}{KZ}=\dfrac{KL}{KQ} \, (5).

Από την (4), την (5) και την \dfrac{XL}{LY}=\dfrac{XK}{KZ}, παίρνουμε \dfrac{KL}{PL}+\dfrac{KL}{KQ} \Leftrightarrow  PL=KQ.

Έστω PL=KQ=x, \, KL=y.

Αφού YS=2PY, τα SZY, SQP είναι όμοια με λόγο ομοιότητας \lambda=\dfrac{SY}{SP}=\dfrac{2}{3}.

Άρα, YZ=\dfrac{2}{3}PQ=\dfrac{4x+2y}{3}.

Από την PY \parallel KZ και την PK \parallel YZ, το PKZY είναι παραλληλόγραμμο.

Άρα, x+y=PK=YZ=\dfrac{4x+2y}{3} \Leftrightarrow x=y, οπότε \boxed{PL=LK=KQ}.
ORESTIS.png
ORESTIS.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8093
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ωραία τριχοτόμηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 06, 2017 9:00 pm

Ας είναι SB = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = ku\,,\,\,k > 0 τότε λόγω των SP//CN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SQ//BM αν

BP = t\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MQ = v θα είναι NP = kt\,\,\kappa \alpha \iota QC = kv.

Στο \vartriangle APQ με διατέμνουσα \overline {MLB} έχω :
Ωραία τριχοτόμηση.png
Ωραία τριχοτόμηση.png (26.44 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές
\dfrac{{AB}}{{BP}} \cdot \dfrac{{PL}}{{LQ}} \cdot \dfrac{{QM}}{{MA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{2(k + 1)t}}{t} \cdot \dfrac{{PL}}{{LQ}} \cdot \dfrac{v}{{(k + 1)v}} = 1 \Rightarrow \boxed{2PL = LQ}

Αν λοιπόν θέσω : PL = x\,\,,\,\,LK = y\,\,,KQ = z η τελευταία γράφεται : 2x = y + z .

ομοίως δε 2z = x + y οπότε μετά εύκολα έχουμε το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12739
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ωραία τριχοτόμηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 07, 2017 1:17 pm

Ωραία  τριχοτόμηση.png
Ωραία τριχοτόμηση.png (16.47 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές
Είναι : \dfrac{PL}{PQ}=\dfrac{PY}{PS}=\dfrac{NX}{NC}=\dfrac{1}{3} , αφού X είναι το βαρύκεντρο .

Συνεπώς : PL=\dfrac{1}{3}PQ και ομοίως : QK=\dfrac{1}{3}PQ , ό . ε . δ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης