Κάθετες στο μέσο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κάθετες στο μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 21, 2016 10:28 pm

Κάθετες στο μέσο.png
Κάθετες στο μέσο.png (14.96 KiB) Προβλήθηκε 3749 φορές
Οι διαγώνιοι τετραπλεύρου ABCD με AB=BC=CD σχηματίζουν οξεία γωνία 30^0.

Αν M είναι το μέσο του AD, να δείξετε ότι \displaystyle{BM \bot MC}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Κάθετες στο μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Νοέμ 22, 2016 4:22 pm

Έστω AB=BC=CD=2r

Έστω N το μέσο της BC και G το σημείο τομής των διαγωνίων του αρχικού τετραπλεύρου.

Στο τρίγωνο ABC φέρνουμε το ύψος BE και στο τρίγωνο BCD το ύψος CF. Επειδή τα τρίγωνα είναι ισοσκελή προκύπτει ότι τα ύψη αυτά είναι και διάμεσοι.

To EN ενώνει τα μέσα E και N του τριγώνου ABC, άρα είναι EN // AB και EN=r.
Επίσης το MF ενώνει τα μέσα M και F του τριγώνου ABD, άρα είναι MF // AB και MF=r.

To FN ενώνει τα μέσα F και N του τριγώνου BCD, άρα είναι FN // CD και FN=r.
Επίσης το ME ενώνει τα μέσα M και E του τριγώνου ACD, άρα είναι ME // CD και ME=r.

Άρα το NEMF είναι ρόμβος.

Έχουμε \widehat{BGE}=\widehat{GBC}+\widehat{GCB}=30^o (1)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο EBC προκύπτει ότι \widehat{GCB}=\widehat{NEC} (2)

Επίσης, επειδή \widehat{BEC}= \widehat{BFC}=90^o το BEFC είναι εγγράψιμο. Άρα \widehat{CEF}=\widehat{GBC} (3)

Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) έχουμε \widehat{CEF}+\widehat{NEC}=30^o. Και από τον ρόμβο προκύπτει εύκολα ότι το τρίγωνο ENM είναι ισόπλευρο.

Άρα NM=NE=NF=NC=NB=r. Επομένως τα σημεία B, C, E, M και F είναι ομοκυκλικά σε κύκλο με διάμετρο την BC.

Συνεπώς \widehat{BMC}=90^o

Υ.Γ. Δεν αποκλείεται να πήγα μέσω Αμερικής... :D
Συνημμένα
Κάθετες στο μέσο.png
Κάθετες στο μέσο.png (24.02 KiB) Προβλήθηκε 3700 φορές


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4101
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κάθετες στο μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Νοέμ 22, 2016 8:06 pm

george visvikis έγραψε:Οι διαγώνιοι τετραπλεύρου ABCD με AB=BC=CD σχηματίζουν οξεία γωνία 30^0. Αν M είναι το μέσο του AD, να δείξετε ότι \displaystyle{BM \bot MC}.
κάθετες στο μέσο.png
κάθετες στο μέσο.png (21.19 KiB) Προβλήθηκε 3669 φορές
Έστω E το συμμετρικό του B ως προς το μέσο M της AD \Rightarrow \boxed{ED = AB = BC = CD}:\left( 1 \right) και \boxed{ED\parallel AT}:\left( 2 \right),\left( {T \equiv AB \cap CD} \right).

Είναι \left\{ \begin{gathered} 
  \angle CBT\mathop  = \limits^{BA = BC} 2\left( {\angle BCA} \right) \\  
  \angle BCT\mathop  = \limits^{BC = CD} 2\left( {\angle CBD} \right) \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)} \angle CBT + \angle BCT = 2\left[ {\angle BCA + \angle CBD} \right]\mathop  = \limits^{\vartriangle BPC} 2\left( {\angle BPA} \right)\mathop  = \limits^{\angle BPA = {{30}^0}} {60^0}

\mathop  \Rightarrow \limits^{\vartriangle BTC} \angle BTD = {120^0}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \angle CDE = {60^0}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{CE} = ED = CD = \boxed{CB}\mathop  \Rightarrow \limits^{M\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,BE} \boxed{CM \bot BE} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης