Είναι δυνατόν;

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4238
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Είναι δυνατόν;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Νοέμ 21, 2016 9:28 pm

Να εξετάσετε αν υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο ABC με βάση BC τέτοιο ώστε το ύψος BD και η διάμεσος BM να χωρίζουν την γωνία B
σε τρία ίσα μέρη.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Είναι δυνατόν;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Νοέμ 21, 2016 11:26 pm

Έστω ότι είναι δυνατό να υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.

Ας θέσουμε \hat{B}=\hat{C}=3x

Από το ορθογώνιο τρίγωνο DBC προκύπτει ότι 4x=90^o \Rightarrow x= 22,5^o

Επομένως \hat{A}=180^o-6x=45^o

Η BD είναι διχοτόμος και ύψος στο τρίγωνο BCM, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές BC=BM

Τα τρίγωνα ABC και BCM είναι όμοια, αφού είναι ισοσκελή και έχουν \hat{A}=\widehat{MBC}=45^o. Άρα ισχύει ότι:

\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{BC}{MC}  \Rightarrow AC \cdot MC = BC^2 και επειδή η BM είναι διάμεσος:

2 MC \cdot MC = BC^2 \Rightarrow 2MC^2=BC^2 (1)

Φέρνουμε την CF \perp BM. Το ορθογώνιο τρίγωνο FBC είναι ισοσκελές αφού έχει τις οξείες γωνίες ίσες με 45^o. Με Π.Θ. σε αυτό το τρίγωνο προκύπτει:

FC^2+BF^2=BC^2  \Rightarrow 2FC^2=BC^2 (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) καταλήγουμε στο ότι FC=MC που όμως είναι άτοπο. Άρα δεν είναι δυνατό να υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.
Συνημμένα
Είναι δυνατόν;.png
Είναι δυνατόν;.png (15.9 KiB) Προβλήθηκε 2213 φορές


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης