Άλλο τόσο

KARKAR · #1

: Άλλο τόσο.png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 940 φορές

Στην εφαπτομένη στον νότιο πόλο

κύκλου

, θεωρούμε σημείο

. Η

προεκτεινόμενη

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

, ενώ η

(

ο βόρειος πόλος ) , τέμνει την εφαπτομένη στο

.

Για ποια θέση του

, προκύπτει : SP = ST

; ( $\bigstar$ : 24 ώρες μόνο για τους μαθητές ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 11, 2025 5:42 pm
Άλλο τόσο.pngΣτην εφαπτομένη στον νότιο πόλο κύκλου , θεωρούμε σημείο . Η προεκτεινόμενη

τέμνει τον κύκλο στο σημείο , ενώ η ( ο βόρειος πόλος ) , τέμνει την εφαπτομένη στο .

Για ποια θέση του , προκύπτει : ; ( $\bigstar$ : 24 ώρες μόνο για τους μαθητές ) .

Έστω λυμένο το πρόβλημα και $K\,\,,\,\,L$ τα σημεία τομής των $PQ\,\,,PN$ με τον κύκλο. Οι ,

και

είναι παράλληλες.

Ας ονομάσου με

,την τομή των $ON\,\,,\,\,LQ$ , Οι γωνίες $\widehat {QNK}\,\,,\,\,\widehat {QLK}$ βαίνουν σε ημικύκλιο και είναι ορθές,

Θέτω , $KL = d\,\,$ και ισχύει $EO// = \dfrac{d}{2}\,\,\left( 1 \right)$ . Στο ( ισοσκελές) τραπέζιο , TPLQ

η

διέρχεται από το σημείο τομής

,

των μη παράλληλων πλευρών του $TQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PL$ και από το

που τέμνονται οι διαγώνιοι του .

: Αλλο τόσο.png (21.75 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

Θα είναι έτσι η τετράδα , $\left( {O,N\backslash S,E} \right)$ αρμονική άρα , $\dfrac{{EO}}{{EN}} = \dfrac{{SO}}{{SN}} = \dfrac{r}{{2r}} = \dfrac{1}{2}$ οπότε και λόγω της $\left( 1 \right)$ $OE = \dfrac{1}{3}r = \dfrac{1}{2}d \Rightarrow d = \dfrac{2}{3}r\,\,\,\left( 2 \right)$

$\dfrac{d}{r} = \dfrac{{PL}}{{PN}} = \dfrac{{PL \cdot PN}}{{P{N^2}}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 4{r^2}}}$ , οπότε και λόγω της $\left( 2 \right)$ προκύπτει : ${x^2} = 8{r^2} \Rightarrow \boxed{x = 2r\sqrt 2 }$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 11, 2025 5:42 pm
Άλλο τόσο.pngΣτην εφαπτομένη στον νότιο πόλο κύκλου , θεωρούμε σημείο . Η προεκτεινόμενη

τέμνει τον κύκλο στο σημείο , ενώ η ( ο βόρειος πόλος ) , τέμνει την εφαπτομένη στο .

Για ποια θέση του , προκύπτει : ; ( $\bigstar$ : 24 ώρες μόνο για τους μαθητές ) .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

: Άλλο τόσο.png (14.67 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

$\displaystyle \frac{{NQ}}{{NT}} = \frac{{QK}}{{TS}} = \frac{{QK}}{{SP}} \Leftrightarrow \frac{{NQ}}{{NT}} = \frac{{r - x}}{{2r}} = \frac{x}{r},$ απ' όπου r=3x

και

Αλλά, $\displaystyle NQ \cdot NT = N{S^2} = 4{r^2} \Leftrightarrow N{Q^2} = \frac{{4{r^2}}}{3},$ οπότε $\displaystyle S{T^2} = TQ \cdot NT = 8{r^2} \Leftrightarrow$ $\displaystyle ST = SP = 2r\sqrt 2$

Άλλο τόσο

Άλλο τόσο

Re: Άλλο τόσο

Re: Άλλο τόσο

Μέλη σε σύνδεση