Παραϊσόπλευρο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15164
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραϊσόπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 04, 2024 6:36 pm

Παραϊσόπλευρο.png
Παραϊσόπλευρο.png (19.64 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές
Προεκτείνουμε την πλευρά BC του ισοπλεύρου τριγώνου ABC , κατά τμήμα CD και σχεδιάζουμε

το παραλληλόγραμμο ACDE . Σχεδιάζουμε επίσης τον κύκλο (C , D , E ) , κέντρου K . Η ευθεία

DK , τέμνει την AB στο σημείο S . Δείξτε ότι : KS= 2DK .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10015
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραϊσόπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 05, 2024 11:07 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 04, 2024 6:36 pm
Παραϊσόπλευρο.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά BC του ισοπλεύρου τριγώνου ABC , κατά τμήμα CD και σχεδιάζουμε

το παραλληλόγραμμο ACDE . Σχεδιάζουμε επίσης τον κύκλο (C , D , E ) , κέντρου K . Η ευθεία

DK , τέμνει την AB στο σημείο S . Δείξτε ότι : KS= 2DK .
Το τετράπλευρο KEAC είναι εγγράψιμο γιατί έχει τις γωνίες του στα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A παραπληρωματικές ( \widehat {EKC} = 2\widehat {EDC} = 2 \cdot 60^\circ  = 120^\circ ).

Επειδή KE = KC = R, η διαγώνιος του , AK , διχοτομεί την \widehat {CAE}.
Παραϊσόπλευρο_ok.png
Παραϊσόπλευρο_ok.png (34.52 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές
Φέρνω από το K, παράλληλη στην BD και τέμνει τις AB\,\,,\,\,AC στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H , ενώ ο κύκλος \left( {K,R} \right) , την KS\,\, στο T.

Η KH είναι μεσοκάθετος στο TC και άρα HT = HC . Αμεση συνέπεια : \vartriangle HCT \to \left( {120^\circ ,30^\circ ,30^\circ } \right) οπότε , TH//AB.

Αφου το Hείναι μέσο της υποτείνουσας ZK του ορθογωνίου \vartriangle AZK θα είναι και το T μέσο του KS.

Οπότε : \displaystyle \boxed{ST = TK = KD}.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10015
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραϊσόπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 05, 2024 5:32 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 04, 2024 6:36 pm
Παραϊσόπλευρο.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά BC του ισοπλεύρου τριγώνου ABC , κατά τμήμα CD και σχεδιάζουμε

το παραλληλόγραμμο ACDE . Σχεδιάζουμε επίσης τον κύκλο (C , D , E ) , κέντρου K . Η ευθεία

DK , τέμνει την AB στο σημείο S . Δείξτε ότι : KS= 2DK .
Υπόδειξη .
.
Παραϊσόπλευρο_new_ok.png
Παραϊσόπλευρο_new_ok.png (44.57 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές
.
Το τετράπλευρο ACKZ είναι χαρταετός και το ASKZ εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου SK . το κέντρο του κύκλου αυτού είναι

Πάνω στον \left( {K,R} \right) και μάλιστα το μέσο του KS.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2837
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παραϊσόπλευρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιουν 11, 2024 11:23 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 04, 2024 6:36 pm
Παραϊσόπλευρο.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά BC του ισοπλεύρου τριγώνου ABC , κατά τμήμα CD και σχεδιάζουμε

το παραλληλόγραμμο ACDE . Σχεδιάζουμε επίσης τον κύκλο (C , D , E ) , κέντρου K . Η ευθεία

DK , τέμνει την AB στο σημείο S . Δείξτε ότι : KS= 2DK .
Η AC τεμνει τον κύκλο (K) στο L οπότε εύκολα προκύπτει ότι τα τρίγωνα ZDL,AEL είναι ισόπλευρα

και \angle ZKL=120^0 \Rightarrow AZKL εγγράψιμμο.

Είναι DK μεσοκάθετη της ZL κι έστω LQ=//ZE οπότε E,M,Q συνευθειακά και προφανώς

\triangle AQL= \triangle EZL \Rightarrow AQ=ZL άρα AZLQ ισοσκελές τραπέζιο.

Τελικά A,Z,K,L,Q ομοκυκλικά και ο κύκλος p είναι ίσος με τον (K) αφού η κοινή χορδή τους

φαίνεται από τα A,E υπό γωνία 60^0 , με το κέντρο του επί της DS.Επομένως SK=2r
Παραισόπλευρο.png
Παραισόπλευρο.png (92.92 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2498
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Παραϊσόπλευρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Ιουν 12, 2024 11:21 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 04, 2024 6:36 pm
Παραϊσόπλευρο.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά BC του ισοπλεύρου τριγώνου ABC , κατά τμήμα CD και σχεδιάζουμε

το παραλληλόγραμμο ACDE . Σχεδιάζουμε επίσης τον κύκλο (C , D , E ) , κέντρου K . Η ευθεία

DK , τέμνει την AB στο σημείο S . Δείξτε ότι : KS= 2DK .
Εστω

AB=a,\hat{LAN}=\omega , ,KD=KN=R, θα αποδειχθεί ότι

SN=R,

Το τετράπλευρο

CDEL είναι ισοσκελές τραπέζιο

,CD//LE,LC=DE,,και το τρίγωνο

ACL Ισόπλευρο ,

\hat{NCD}=90,\hat{TCL}=30^{0},NL=KL=NK=R,\hat{ALN}=60-\omega =\hat{LAN},

εφόσον η CT είναι μεσοκάθετος στην

AL.\hat{SAN}=120-\omega ,\hat{ASN}=120-\omega \Rightarrow AN=SN=R
Συνημμένα
Παραισόπλευρο.png
Παραισόπλευρο.png (21.76 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης