Μεταβλητό ... αλλά σταθερό

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10734
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεταβλητό ... αλλά σταθερό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιουν 17, 2019 7:54 pm

Μεταβλητό  αλλά  σταθερό.png
Μεταβλητό αλλά σταθερό.png (14.45 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι σταθερό το ύψος AD και σταθερή η κορυφή C . Αντίθετα η κορυφή B

μετακινείται πέρα από το D αλλά με BD<DC. Οι διάμεσοι AM,CN τέμνονται στο K .

Η DK τέμνει την από το A παράλληλη προς την BC , στο σημείο E .

Βρείτε το είδος του τετραπλεύρου AECB και εξηγήστε γιατί έχει σταθερό εμβαδόν .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μεταβλητό ... αλλά σταθερό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Ιουν 17, 2019 8:39 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 7:54 pm
Μεταβλητό αλλά σταθερό.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι σταθερό το ύψος AD και σταθερή η κορυφή C . Αντίθετα η κορυφή B

μετακινείται πέρα από το D αλλά με BD<DC. Οι διάμεσοι AM,CN τέμνονται στο K .

Η DK τέμνει την από το A παράλληλη προς την BC , στο σημείο E .

Βρείτε το είδος του τετραπλεύρου AECB και εξηγήστε γιατί έχει σταθερό εμβαδόν .
Καλησπέρα!

Επειδή K βαρύκεντρο του ABC θα είναι \dfrac{AK}{KM}=2

Από τις παράλληλες AE//BC θα είναι \dfrac{AE}{DM}=\dfrac{AK}{KM}=2

Άρα φέρνοντας κάθετο τμήμα EL στην BC θα είναι M μέσο του DL και έτσι EC=AB δηλαδή AECB ισοσκελές τραπέζιο.

\left ( ABCE \right )=\dfrac{\left ( AE+BC \right )}{2}\cdot AD=\dfrac{BC-2\cdot BD+BC}{2}\cdot AD=DC\cdot AD=\sigma \tau \alpha \vartheta \varepsilon \rho \acute{o}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8296
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεταβλητό ... αλλά σταθερό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 18, 2019 11:01 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 7:54 pm
Μεταβλητό αλλά σταθερό.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι σταθερό το ύψος AD και σταθερή η κορυφή C . Αντίθετα η κορυφή B

μετακινείται πέρα από το D αλλά με BD<DC. Οι διάμεσοι AM,CN τέμνονται στο K .

Η DK τέμνει την από το A παράλληλη προς την BC , στο σημείο E .

Βρείτε το είδος του τετραπλεύρου AECB και εξηγήστε γιατί έχει σταθερό εμβαδόν .
Έστω T το μέσο του EC.
Μεταβλητό... αλλά σταθερό.png
Μεταβλητό... αλλά σταθερό.png (52.67 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
\displaystyle \frac{{EK}}{{KD}} = \frac{{AK}}{{KM}} = \frac{{CK}}{{KN}} = 2 \Rightarrow ND|| = \frac{{EC}}{2}. Αλλά, \displaystyle ND = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow AB = EC, οπότε το AECB

είναι ισοσκελές τραπέζιο και το NTCD παραλληλόγραμμο. Άρα, \boxed{(AECB) = NT \cdot AD = DC \cdot AD = ct}

Edit: Διόρθωση τυπογραφικών και αλλαγές στο σχήμα. (11:29 πμ)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6652
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεταβλητό ... αλλά σταθερό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 18, 2019 11:04 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιουν 17, 2019 7:54 pm
Μεταβλητό αλλά σταθερό.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι σταθερό το ύψος AD και σταθερή η κορυφή C . Αντίθετα η κορυφή B

μετακινείται πέρα από το D αλλά με BD<DC. Οι διάμεσοι AM,CN τέμνονται στο K .

Η DK τέμνει την από το A παράλληλη προς την BC , στο σημείο E .

Βρείτε το είδος του τετραπλεύρου AECB και εξηγήστε γιατί έχει σταθερό εμβαδόν .
Λίγο διαφορετικά.

Ας είναι T το σημείο τομής των ευθειών , EA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DN. Ισχύουν ταυτόχρονα:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{EK}}{{KD}} = \frac{{AK}}{{KM}}\,\,\,\,(1) \hfill \\ 
  \frac{{AK}}{{KM}} = \frac{{CK}}{{KN}} = 2\,\,\,\,(2) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
μεταβλητό αλλά σταθερό.png
μεταβλητό αλλά σταθερό.png (19.01 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές

Η (1) γιατί AE//DN και του Θ. Θαλή και η (2) λόγω του βαρυκέντρου K στο \vartriangle ABC.

1. Έτσι θα έχω ( μεταβατικότητα) : \dfrac{{EK}}{{KD}} = \dfrac{{CK}}{{KN}} \Rightarrow EC// = 2DN = DT = AB

2. Επειδή δε το τραπέζιο ABCE έχει ίσο εμβαδόν με το παραλληλόγραμμο TDCE θα είναι : (ABCE) = DC \cdot AD ( σταθερό )


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες