Εκθετική εξίσωση

#1

.
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x, y)

, όχι κατ΄ανάγκη ακεραίων, που ικανοποιούν την εξίσωση

$(2^{x^2+1}+5)(3^{y^2+1}+10)=91$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 08, 2026 1:20 pm
.
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών , όχι κατ΄ανάγκη ακεραίων, που ικανοποιούν την εξίσωση

$(2^{x^2+1}+5)(3^{y^2+1}+10)=91$

Παρατηρούμε ότι το ζεύγος (x=0,y=0

) είναι λύση της εξίσωσης

Για τα x,y

υπάρχουν οι περιπτώσεις $(x>0,y \geq 0)$ , $(x<0,y \leq 0)$ , $(x \geq 0,y<0)$ ,( $x \leq 0,y>0)$

Οι συναρτήσεις 2^ x,3^x

είναι γνήσια αύξουσες ,άρα σε κάθε περίπτωση εύκολα προκύπτει η πρώτη παρένθεση

είναι μεγαλύτερη του 7 και η δεύτερη μεγαλύτερη του 13,οπότε το γινόμενό τους είναι μεγαλύτερο από 91

Επομένως για x,y

που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν η εξίσωση είναι αδύνατη

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 08, 2026 1:20 pm
.
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών , όχι κατ΄ανάγκη ακεραίων, που ικανοποιούν την εξίσωση

$(2^{x^2+1}+5)(3^{y^2+1}+10)=91$

Γράφω την λύση όπως την είχα κατά νου. Είναι ταυτόσημη με του Μιχάλη, αλλά ίσως κάπως εποπτικότερη:

Αν (x,y)

λύση, τότε έχουμε

$91= (2^{x^2+1}+5)(3^{y^2+1}+10) \ge (2^{0+1}+5)(3^{0+1}+10)= 7\cdot 13=91$ .

Οπότε έχουμε ισότητα παντού, και άρα συγχρόνως x^2=0, y^2=0

. Άρα η μοναδική λύση είναι η x=y=0

.

Fotis34 · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 08, 2026 1:20 pm
.
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών , όχι κατ΄ανάγκη ακεραίων, που ικανοποιούν την εξίσωση

$(2^{x^2+1}+5)(3^{y^2+1}+10)=91$

Άλλη μία λύση, η οποία είναι παρόμοια με αυτές των άλλων δύο post:

Επειδή είναι, προφανώς , $\displaystyle{x²≥0}$ και $\displaystyle{y²≥0}$ , τα εφαρμόζω στην δοθείσα εξίσωση:

$\displaystyle 2^{x^2+1}+5 \ge 2+5=7,\qquad 3^{y^2+1}+10 \ge 3+10=13.$

$\displaystyle (2^{x^2+1}+5)(3^{y^2+1}+10)\ge 7\cdot 13=91.$

Για να ισχύει
$\displaystyle (2^{x^2+1}+5)(3^{y^2+1}+10)=91,$
πρέπει να έχουμε ισότητα στα παραπάνω κατώτατα όρια, άρα
$\displaystyle 2^{x^2+1}=2 \quad \text{και} \quad 3^{y^2+1}=3.$

Επομένως
$\displaystyle x^2=0 \Rightarrow x=0,\qquad y^2=0 \Rightarrow y=0.$

$\displaystyle \boxed{(x,y)=(0,0)}$

Εκθετική εξίσωση

Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση