Άθροισμα ψηφίων φυσικού αριθμού

#1

Να βρεθεί το πλήθος των ψηφίων και στη συνέχεια το άθροισμα των ψηφίων αυτών του αριθμού:

$\displaystyle{A=(111)(\underset{100}{\underbrace{11...1}}) }$

Αφορμή η άσκηση: https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 70&t=76820

#2

KDORTSI έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2024 12:54 am
Να βρεθεί το πλήθος των ψηφίων και στη συνέχεια το άθροισμα των ψηφίων αυτών του αριθμού:

$\displaystyle{A=(111)(\underset{100}{\underbrace{11...1}}) }$

.
Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό κάθετα όπως όταν μάθαμε να εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς. Εδώ
.

: 111.png (2 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές

.
Βλέπουμε εύκολα από την τελευταία γραμμή ότι το γινόμενο έχει 1+1+100=102

ψηφία με άθροισμα $1+2+(3\times 98)+2+1=300$

#3

KDORTSI έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2024 12:54 am
Να βρεθεί το πλήθος των ψηφίων και στη συνέχεια το άθροισμα των ψηφίων αυτών του αριθμού:

$\displaystyle{A=(111)(\underset{100}{\underbrace{11...1}}) }$

Αφορμή η άσκηση: https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 70&t=76820

Μιχάλη καλησπέρα...

Παραθέτω και τη δικιά μου ιδέα, η οποία γεννήθηκε, όπως ανάφερα από την ανωτέρω πηγή.

Από το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και θεωρώντας γενικά αντί του 100 τον φυσικό αριθμό $\displaystyle{n}$ , προκύπτουν τα ακόλουθα:

$\displaystyle{A=(111)(\underset{n}{\underbrace{11...1}}) }$

$\displaystyle{\Rightarrow A=(111)(10^{n-1}+10^{n-2}+10^{n-3}+...+10^2+10+1)}$

$\displaystyle{\Rightarrow A=(111)10^{n-1}+(111)10^{n-2}+(111)10^{n-3}+...+(111)10^2+(111)10+(111)1}$

Όμως:

$\displaystyle{(111)10^{n-1}=(10^2+10+1)10^{n-1}=10^{n+1}+10^n+10^{n-1} }$

$\displaystyle{(111)10^{n-2}=(10^2+10+1)10^{n-2}=10^{n}+10^{n-1}+10^{n-2}}$

$\displaystyle{(111)10^{n-3}=(10^2+10+1)10^{n-3}=10^{n-1}+10^{n-2}+10^{n-3}}$

................................................................................

$\displaystyle{(111)10^2=(10^2+10+1)10^2=10^4+10^3+10^2}$

$\displaystyle{(111)10=(10^2+10+1)10=10^3+10^2+10}$

$\displaystyle{(111)1=(10^2+10+1)1=10^2+10+1 }$

Αθροίζοντας τις $\displaystyle{n}$ ανωτέρω σχέσεις εύκολα προκύπτει:

$\displaystyle{A=10^{n+1}+2\cdot 10^{n}+3 \cdot 10^{n-1}+3\cdot 10^{n-2}+....+3\cdot 10^2+2\cdot 10+1 }$

δηλαδή ο αριθμός:

$\displaystyle{A=\underset{n+2}{\underbrace{12\overset{n-2}{\overbrace{33...3}}21} }$

ο οποίος είναι ένας παλινδρομικός αριθμός!

Κώστας Δόρτσιος

Άθροισμα ψηφίων φυσικού αριθμού

Άθροισμα ψηφίων φυσικού αριθμού

Re: Άθροισμα ψηφίων φυσικού αριθμού

Re: Άθροισμα ψηφίων φυσικού αριθμού

Μέλη σε σύνδεση