Άθροισμα ψηφίων σε παράσταση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού

$3 \cdot \underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}} ^3 +2 \cdot \underset{100}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +\underset{100}{\underbrace{55 \ldots 5}}^2 +\underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}}$ .

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2024 3:21 pm
Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού

$3 \cdot \underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}} ^3 +2 \cdot \underset{100}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +\underset{100}{\underbrace{55 \ldots 5}}^2 +\underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}}$ .

Απάντηση:

. Ακόμα καλύτερα, η δοθείσα παράσταση ισούται με $\underset{300}{\underbrace{11 \ldots 1}}$

Για ευκολία γράφουμε $\underset{100}{\underbrace{11 \ldots 1}}=A$ , οπότε $9A= \underset{100}{\underbrace{99 \ldots 9}} = 10^{100}-1$ .

Η αρχική ισούται με

$3\cdot (3A)^3+2A^2+(5A)^2+3A= 81A^3+27A^2+3A= [(9A)^2+3(9A)+3]A=$

$=[(10^{100}-1)^2+3(10^{100}-1)+3]A= [10^{200} + 10^{100}+1]A=$

$=(1\underset{99}{\underbrace {00 \ldots 0}}1\underset{99}{\underbrace{00 \ldots 0}}1)A=\underset{300}{\underbrace{11 \ldots 1}}$

(Εννοείται, το πρόβλημα γενικεύεται με τετριμμένο τρόπο, όπου τώρα η παράσταση

$3 \cdot \underset{N}{\underbrace{33 \ldots 3}} ^3 +2 \cdot \underset{N}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +\underset{N}{\underbrace{55 \ldots 5}}^2 +\underset{N}{\underbrace{33 \ldots 3}}$

ισούται με $\underset{3N}{\underbrace{11 \ldots 1}}$ )

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2024 3:21 pm
Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού

$3 \cdot \underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}} ^3 +2 \cdot \underset{100}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +\underset{100}{\underbrace{55 \ldots 5}}^2 +\underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}}$ .

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2024 7:21 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2024 3:21 pm
Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού

$3 \cdot \underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}} ^3 +2 \cdot \underset{100}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +\underset{100}{\underbrace{55 \ldots 5}}^2 +\underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}}$ .
Απάντηση: . Ακόμα καλύτερα, η δοθείσα παράσταση ισούται με $\underset{300}{\underbrace{11 \ldots 1}}$

Για ευκολία γράφουμε $\underset{100}{\underbrace{11 \ldots 1}}=A$ , οπότε $9A= \underset{100}{\underbrace{99 \ldots 9}} = 10^{100}-1$ .

Η αρχική ισούται με

$3\cdot (3A)^3+2A^2+(5A)^2+3A= 81A^3+27A^2+3A= [(9A)^2+3(9A)+3]A=$

$=[(10^{100}-1)^2+3(10^{100}-1)+3]A= [10^{200} + 10^{100}+1]A=$

$=(1\underset{99}{\underbrace {00 \ldots 0}}1\underset{99}{\underbrace{00 \ldots 0}}1)A=\underset{300}{\underbrace{11 \ldots 1}}$

(Εννοείται, το πρόβλημα γενικεύεται με τετριμμένο τρόπο, όπου τώρα η παράσταση

$3 \cdot \underset{N}{\underbrace{33 \ldots 3}} ^3 +2 \cdot \underset{N}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +\underset{N}{\underbrace{55 \ldots 5}}^2 +\underset{N}{\underbrace{33 \ldots 3}}$

ισούται με $\underset{3N}{\underbrace{11 \ldots 1}}$ )

Αλέξανδρε και Μιχάλη καλημέρα...

Θα χρησιμοποιήσω την αρχική ιδέα της λύσης του Μιχάλη για μια

άλλη διαδικασία λύσης στη γενική περίπτωση:

Είναι:

$\displaystyle{\underset{n}{\underbrace{11....1}} =\frac{10^n-1}{9} \ \ (1) }$

Ακόμα ο αριθμός $\displaystyle{A}$ γράφεται:

$\displaystyle{A=3\cdot \underset{n}{\underbrace{33 \ldots 3}} ^3 +2 \cdot \underset{n}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +\underset{n}{\underbrace{55 \ldots 5}}^2 +\underset{n}{\underbrace{33 \ldots 3}} \Rightarrow}$

$\displaystyle{ A=3^4 \cdot \underset{n}{\underbrace{11 \ldots 1}} ^3 +2 \cdot \underset{n}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +5^2 \cdot\underset{n}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +3\cdot\underset{n}{\underbrace{11 \ldots 1}} \Rightaroow}$

$\displaystyle{ A=81\cdot \underset{n}{\underbrace{11 \ldots 1}} ^3 +27 \cdot\underset{n}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +3\cdot\underset{n}{\underbrace{11 \ldots 1} \ \ (2) }$

Στη συνέχεια η (2) λόγω της (1) γίνεται:

$\displaystyle{A=81 \cdot \frac{(10^n-1)^3}{9^3}+27\cdot\frac{(10^n-1)^2}{9^2}+3 \cdot \frac{10^n-1}{9} \ \ (3) }$

Η (3) μετά από τις πράξεις δίνει:

$\displaystyle{A=\frac{1}{9} \cdot (10^{3n}-1) }$

Δηλαδή:

$\displaystyle{A=\underset{3n}{\underbrace{11....1}} }$

Κώστας Δόρτσιος

Άθροισμα ψηφίων σε παράσταση

Άθροισμα ψηφίων σε παράσταση

Re: Άθροισμα ψηφίων σε παράσταση

Re: Άθροισμα ψηφίων σε παράσταση

Μέλη σε σύνδεση