Εξίσωμα

KARKAR · #1

Λύστε την εξίσωση : $\sqrt{3 x^2-5 x+13}-\sqrt{3x^2-5x-3}=2$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 31, 2023 9:46 am
Λύστε την εξίσωση : $\sqrt{3 x^2-5 x+13}-\sqrt{3x^2-5x-3}=2$

Θέτω $\boxed{3{x^2} - 5x = t}$ και η αρχική εξίσωση γράφεται: $\displaystyle \sqrt {t + 13} = 2 + \sqrt {t - 3} ,t \geqslant 3$

Υψώνω στο τετράγωνο, $\displaystyle t + 13 = 4 + t - 3 + 4\sqrt {t - 3} \Leftrightarrow \sqrt {t - 3} = 3 \Leftrightarrow t = 12$

Άρα, $\displaystyle 3{x^2} - 5x - 12 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=3}$ ή $\boxed{x=-\frac{4}{3}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 31, 2023 9:46 am
Λύστε την εξίσωση : $\sqrt{3 x^2-5 x+13}-\sqrt{3x^2-5x-3}=2$

Θέτω : $3{x^2} - 5x + 13 = k > 0$ γιατί το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα και είναι πάντα θετικό.

Έτσι έχω: το $3{x^2} - 5x - 3 = k - 16$ και πρέπει να είναι μη αρνητική ποσότητα δηλαδή , $k \geqslant 16$ .

Ή προκύπτουσα εξίσωση , $\sqrt k - \sqrt {k - 16} = 2 \Leftrightarrow \sqrt k - 2 = \sqrt {k - 16}$ με ύψωση στο τετράγωνο των δύο μελών προκύπτει :

$k + 4 - 4\sqrt k = k - 16 \Rightarrow \sqrt k = 5 \Rightarrow k = 25$ δεκτή .

Οπότε έχουμε προς λύση, $3{x^2} - 5x - 12 = 0$ με ρίζες : $\boxed{x = 3\,\,}$ ή $\boxed{x = - \frac{4}{3}}$ δεκτές.

Τα ίδια κάνει και ο Γιώργος πιο πάνω , το αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης .

Εξίσωμα

Εξίσωμα

Re: Εξίσωμα

Re: Εξίσωμα

Μέλη σε σύνδεση