Σύστημα

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4543
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Ιαν 19, 2023 4:05 pm

Αν \displaystyle{x , y} είναι θετικοί ακέραιοι , να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{5x +3y =245}

\displaystyle{x^2 + y^2 =}πολλ\displaystyle{7}
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Παρ Ιαν 20, 2023 8:55 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4543
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Ιαν 20, 2023 8:54 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Πέμ Ιαν 19, 2023 4:05 pm
Αν \displaystyle{x , y} είναι θετικοί ακέραιοι , να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{5x +3y =245}

\displaystyle{x^2 + y^2 =}πολλ9
ΔΙΟΡΘΩΣΑ ένα τυπογραφικό: Αντί πολλ/σιο του 9 που είχα κατά λάθος γράψει, είναι πολλ/σιο του 7.
Ζητώ συγνώμη, από όσους ασχολήθηκαν.
(Το λάθος προέκυψε, επειδή αρχικά ήταν να βάλλω το σύστημα:
\displaystyle{5x+3y=245}
\displaystyle{x+y=}πολ9
Και στη συνέχεια το άλλαξα)


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1587
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Ιαν 22, 2023 12:27 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Πέμ Ιαν 19, 2023 4:05 pm
Αν \displaystyle{x , y} είναι θετικοί ακέραιοι , να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{5x +3y =245}

\displaystyle{x^2 + y^2 =}πολλ\displaystyle{7}
Παρατηρούμε ότι το 3y θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 5, άρα θα είναι πολλαπλάσιο του 5 και το y. Έστω ότι είναι της μορφής y=5k, όπου k κάποιoς θετικός ακέραιος. Τότε η πρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται διαδοχικά

5x+3\cdot 5k =245

x+3k=49

x=49-3k

Αφού x >0 , θα είναι 49-3k >0, δηλαδή \dfrac{49}{3} > k. Άρα για το  k πρέπει να ισχύει 0 <k <17 .

Από την δεύτερη εξίσωση,αντικαθστώντας σε αυτήν την μορφή του x που βρήκαμε στην πρώτη, έχουμε

(49-3k)^2 + (5k)^2 = \pi o \lambda \lambda. 7

49^2 -2 \cdot 49 \cdot 3k+ 9k^2 +25k^2 = \pi o \lambda \lambda. \quad 7

49^2 -2 \cdot 49 \cdot 3k +35k^2 -k^2 = \pi o \lambda \lambda. 7

7 \cdot  ( 7 \cdot 49 - 2 \cdot 3 \cdot 7k + 5k^2) - k^2 = \pi o \lambda \lambda . 7

\pi o \lambda \lambda. 7 -k^2 =\pi o \lambda \lambda. 7

Από την τελευταία μορφή της εξίσωσης συμπεράνουμε ότι το k^2 θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 7 και άρα και το k. Οπότε οι δυνατές τιμές για το  k είναι  7 και 14.

Για k=7 έχουμε x = 49-3 \cdot 7=28, y=5\cdot 7 =35

Για k=14 έχουμε x=49-3 \cdot 14=7, y=5 \cdot 14=70.

Και τα δύο παραπάνω ζεύγη επαλήθεύουν το σύστημα.


Εναλλακτικά θα μπορούσε κάποιος να δείξει ότι, αν το άθροισμα των τετραγώνων δυο αριθμών είναι πολλαπλάσιο του 7, τότε ο καθένας εκ των αριθμών θα είναι πολλαπλάσιο του 7 (αφήνεται ως άσκηση). Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα η πρώτη εξίσωση μπορεί να γραφεί στην μορφή

35m +3 \cdot 35n=245 ή

m+3n=7

για κάποιους θετικούς ακέραιους m,n. Από όπου βρίσκουμε ότι, m=1, n=2 ή m=4, n=1.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4543
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Ιαν 24, 2023 6:06 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Ιαν 22, 2023 12:27 pm


Εναλλακτικά θα μπορούσε κάποιος να δείξει ότι, αν το άθροισμα των τετραγώνων δυο αριθμών είναι πολλαπλάσιο του 7, τότε ο καθένας εκ των αριθμών θα είναι πολλαπλάσιο του 7 (αφήνεται ως άσκηση). Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα η πρώτη εξίσωση μπορεί να γραφεί στην μορφή

35m +3 \cdot 35n=245 ή

m+3n=7

για κάποιους θετικούς ακέραιους m,n. Από όπου βρίσκουμε ότι, m=1, n=2 ή m=4, n=1.
Ας δούμε και μια εξήγηση, το γιατί αν το άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{7}, τότε ο καθένας θα είναι επίσης πολλαπλάσιο του \displaystyle{7}

Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι ο \displaystyle{x} δεν είναι πολλαπλάσιo του \displaystyle{7}, τότε:
\displaystyle{x=1,2,3,4,5,6 mod7 \Rightarrow x^2 = 1,2,4 mod7}
Επίσης \displaystyle{y=0,1,2,3,4,5,6 mod7 \Rightarrow y^2 = 0, 1,2,4 mod7}
Άρα \displaystyle{x^2 +y^2 = 1,2,3,4,5,6 mod7 \neq 0mod7}
Συνεπώς αν ένας τουλάχιστον από τους \displaystyle{x , y} δεν είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{7}, τότε ο \displaystyle{x^2 +y^2 } δεν θα ήταν
πολλαπλάσιο του \displaystyle{7}, που αντίκειται στην υπόθεση.
Άρα πρέπει οι \displaystyle{x,y} να είναι πολλαπλάσια του \displaystyle{7}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης