Πόσα τέλεια τετράγωνα;

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Πόσα τέλεια τετράγωνα;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 15, 2022 8:34 pm

Δίνονται έξι τριψήφιοι αριθμοί της μορφής \overline {abc},\, \overline {acb},\,\overline {bac},\,\overline {bca},\,\overline {cab},\,\overline {cba}.\,
Ποιο είναι το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος από αυτούς που μπορούν να είναι τέλεια τετράγωνα;

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου. Στην πραγματικότητα απευθύνομαι σε μαθητές Α' Γυμνασίου και, γιατί όχι, Δημοτικού.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσα τέλεια τετράγωνα;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 18, 2022 12:44 am

Ανοικτή σε όλους


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8856
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πόσα τέλεια τετράγωνα;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 18, 2022 5:53 pm

Για a=1,b=4,c=4 οι \overline{abc},\overline{acb},\overline{bca},\overline{cba} είναι όλοι τέλεια τετράγωνα.

Δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερα: Αν είχαμε 5 ή 6 τότε τουλάχιστον ένα τέλειο τετράγωνο λήγει σε a κ.τ.λ. Άρα a,b,c \in \{1,4,5,6,9\}. Επίσης τουλάχιστον ένα τέλειο τετράγωνο αρχίζει με 5. Όμως μόνο τα 529 και 576 είναι τριψήφια τέλεια τετράγωνα που ξεκινούν με 5. Απορρίπτονται και τα δύο αφού χρησιμοποιούν το 2 και το 7 αντίστοιχα. Ομοίως απορρίπτεται και το 6. Αφού απορρίψουμε το 6, τότε αναγκαστικά απορρίπτεται και το 9. Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τα 1 και 4 και τα μόνο τέλεια τετράγωνα που χρησιμοποιούν αυτά τα δύο ψηφία είναι τα 144 και 441.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσα τέλεια τετράγωνα;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 18, 2022 8:42 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Νοέμ 18, 2022 5:53 pm
Για a=1,b=4,c=4 οι \overline{abc},\overline{acb},\overline{bca},\overline{cba} είναι όλοι τέλεια τετράγωνα.
Ωραία.

Ας δούμε τώρα και την παραλλαγή όπου τα a,\, b,\, c να είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Τώρα η απάντηση είναι "τρεις αριθμοί" αντί "τέσσερις".

Αρχικά αυτό είχα κατά νου. Με εξέπληξε θετικά ο Δημήτρης που βρήκε μία παραπάνω λύση, αλλά χωρίς τον περιορισμό που θέτω τώρα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσα τέλεια τετράγωνα;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 24, 2022 10:51 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Νοέμ 15, 2022 8:34 pm
Δίνονται έξι τριψήφιοι αριθμοί της μορφής \overline {abc},\, \overline {acb},\,\overline {bac},\,\overline {bca},\,\overline {cab},\,\overline {cba}.\,
Ποιο είναι το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος από αυτούς που μπορούν να είναι τέλεια τετράγωνα;

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου. Στην πραγματικότητα απευθύνομαι σε μαθητές Α' Γυμνασίου και, γιατί όχι, Δημοτικού.
.
Αφού την προόριζα για μαθητές Δημοτικού, ας δούμε μία λύση χωρίς "σοβαρά" Μαθηματικά.

Τα τριψήφια τέλεια τετράγωνα είναι οι αριθμοί από το 10^2=100 έως το 31^2=961, είκοσι δύο τον αριθμό. Τα καταγράφουμε (δεν είναι ιδιαίτερος κόπος). Είναι τα

100,\, 121,\, 144, \, 169,\, 196,\, 225,\, 256,\, 289,\, 324,\, 361,\, 400, \, 441,\, 484,\, 529,\, 576,\, 625,\, 676,\, 729,\, 784,\, 841,\, 900,\, 961

Παρατηρώντας τα καταλήγουμε ότι αυτά τα οποία επαναλαμβάνονται περισσότερες φορές με αναδιάταξη των ψηφίων τους είναι τα 169,\, 196,\, 961.

Ο λόγος που έθεσα την άσκηση (πάντα απευθυνόμενος στο Δημοτικό) είναι για να α) καταγράψουν όλα τα τέλεια τετράγωνα (χρήσιμο για το επίπεδό τους) και β) να κάνουν παρατήρηση σαρώνοντας όλες τις περιπτώσεις. Πρόκειται δια δύο δεξιότητες που πρέπει κάποτε, σε πρώιμη ηλικία, να τις αποκτήσουμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης