Μικρότερος αριθμός
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Μικρότερος αριθμός
Να προσδιορίσετε το μικρότερο θετικό ακέραιο όλα τα ψηφία του οποίου είναι ίσα με και διαιρείται με το .
https://artofproblemsolving.com/communi ... ple_of_169
https://artofproblemsolving.com/communi ... ple_of_169
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Μικρότερος αριθμός
Έστω το πλήθος των ψηφίων του ζητούμενου αριθμού. Ο αριθμός ισούται με:
Από αυτή τη σχέση έπεται ότι ο είναι πολλαπλάσιο του
Oπότε
Δηλαδή ο ελάχιστος έχει ψηφία ίσα με τέσσερα
Από αυτή τη σχέση έπεται ότι ο είναι πολλαπλάσιο του
Oπότε
Δηλαδή ο ελάχιστος έχει ψηφία ίσα με τέσσερα
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Πέμ Οκτ 20, 2022 2:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μικρότερος αριθμός
Δεν είναι σωστό αυτό το συμπέρασμα.Henri van Aubel έγραψε: ↑Τετ Οκτ 19, 2022 7:37 pmΑπό αυτή τη σχέση έπεται ότι ο είναι πολλαπλάσιο του
Oπότε
Δηλαδή ο ελάχιστος έχει ψηφία ίσα με τέσσερα
To ούτως ή άλλως διαιρεί το για κάθε . Επειδή , ψάχνουμε ουσιαστικά το μικρότερο ώστε .
Modulo 13 η ακολουθία είναι: 1,10,9,-1,-10,-9 και μετά επαναλαμβάνεται.
Άρα . Πρέπει λοιπόν . Ας παρατηρήσουμε επίσης ότι
Δηλαδή αλλά .
Έχουμε τώρα
Ψάχνουμε λοιπόν τον μικρότερο ώστε . Αφού όμως έχουμε .
Άρα το μικρότερο είναι το και το μικρότερο το .
Δύσκολη άσκηση για Juniors. Ουσιαστικά πρόκειται για εφαρμογή του Lifting the Exponent Lemma άσχετο αν το έγραψα χωρίς να το αναφέρω. (Αποδεικνύωντας ειδική περίπτωσή του.)
Τώρα μάλιστα είδα ότι μπήκε στο επίπεδο του Θαλή-Ευκλείδη. Θανάση, έχεις κάτι πιο απλό;
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Μικρότερος αριθμός
Edit λόγω στραβομάρας (δικής μου)
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Πέμ Οκτ 20, 2022 2:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες