Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
α) (Προθέρμανση για το β' ερώτημα). Δείξτε ότι όσο μεγαλώνει ο φυσικός αριθμός , τόσο μικραίνει η διαφορά .
β) Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός που ικανοποιεί .
(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας).
β) Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός που ικανοποιεί .
(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας).
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
εύκολη άσκηση
τελευταία επεξεργασία από cool geometry σε Κυρ Αύγ 14, 2022 9:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
πολύ απλό και το δεύτερο ερώτημα, απλά έχει πολλές πράξεις.
τελευταία επεξεργασία από cool geometry σε Κυρ Αύγ 14, 2022 9:28 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 30
- Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2021 2:41 pm
Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
Η συνάρτηση νομίζω θα έπρεπε να ήταν: . Αρκεί να αποδείξω πως η είναι γνησίως φθίνουσα. Εκτός φακέλου είναι: , αφού: και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Για το δεύτερο ερώτημα: .
Άρα, η ελάχιστη τιμή του είναι:
(Η λύση εντός φακέλου για το α) θα ήταν να δείξω πως: με τετράγωνα όπως παραπάνω.)
Για το δεύτερο ερώτημα: .
Άρα, η ελάχιστη τιμή του είναι:
(Η λύση εντός φακέλου για το α) θα ήταν να δείξω πως: με τετράγωνα όπως παραπάνω.)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
Έσβησα το μήνυμά μου αφού σβήστηκε και το αντίστοιχο το οποίο σχολίαζα.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Αύγ 14, 2022 12:22 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
Γράφω την λύση που είχα κατά νου:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 13, 2022 11:41 pmα) (Προθέρμανση για το β' ερώτημα). Δείξτε ότι όσο μεγαλώνει ο φυσικός αριθμός , τόσο μικραίνει η διαφορά .
β) Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός που ικανοποιεί .
(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας).
α) Αφού η είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα από δύο γνήσια αύξουσες, έχουμε ότι η
είναι γνήσια φθίνουσα.
β) (Υψώνουμε στο τετράγωνο όπως ο Φίλιππος παραπάνω, αλλά πρώτα κάνουμε μικρή επεξεργασία). Έχουμε τις ισοδυναμίες
.
Συνεπώς το ζητούμενο είναι το .
Aν θέλουμε και έλεγχο, το κομπιουτεράκι δίνει για ότι ενώ για έχουμε .
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
Κύριε Λάμπρου, έξυπνα εντός φακέλου γράψατε το πρώτο.
εγώ είπα άρα παραγωγίζοντας παίρνουμε:
που ισχύει.
απόδειξη του ότι ισχύει: είναι που αποδεικνύει το ζητούμενο.
εγώ είπα άρα παραγωγίζοντας παίρνουμε:
που ισχύει.
απόδειξη του ότι ισχύει: είναι που αποδεικνύει το ζητούμενο.
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
Οι μικροί μας φίλοι δεν γνωρίζουν την μονοτονία.
τελευταία επεξεργασία από cool geometry σε Κυρ Αύγ 14, 2022 5:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
H απόδειξη που έγραψα παραπάνω, η οποία είναι προσιτή και σε μικρούς μαθητές, καλύπτει και αυτή την περίπτωση (και λίγο γενικότερα για θετικoύς πραγματικούς αντί απλά θετικούς φυσικούς). Ας το δούμε: Για κάθε σταθερό και για έχουμεcool geometry έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 14, 2022 4:43 pmμπορούμε να γενικεύσουμε το συμπέρασμα , δηλαδή να πούμε ότι:
αν φυσικοί αριθμοί, τότε πάντα θα ισχύει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.
Απόδειξη:
παραγωγίζοντας τη συνάρτηση παίρνουμε: όμως ισχύει ότι:
άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, όπως θέλαμε.
, που είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση του αφού η είναι προφανώς γνήσια αύξουσα.
Ας προσθέσω ότι η παραπάνω απόδειξη με παραγώγους έχει ένα πρόβλημα (που ευτυχώς διορθώνεται και ουσιαστικά αυτό ήδη υπάρχει στο προ-προηγούμενο ποστ). Συγκεκριμένα δεν μπορούμε να παραγωγίσουμε συναρτήσεις που είναι ορισμένες μόνο σε διακριτά σημεία, όπως π.χ. οι φυσικοί ααριθμοί. Ο ορισμός της παραγώγου και η απόδειξη του θεωρήματος που επικαλούμαστε χρειάζεται την συνάρτηση να είναι ορισμένη τουλάχιστον σε ένα διάστημα γύρω από το σημείο παραγώγισης. Γι' αυτό έκανα και την γενίκευση που έγραψα ώστε να σώζεται (στο νέο πεδίο ορισμού) και η παραπάνω απόδειξη με παραγώγους.
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
για όλους τους θετικούς πραγματικούς ισχύει αυτό, όμως εγώ έγραψα φυσικούς, επειδή κι αυτοί ανήκουν στους θετικούς πραγματικούς και η εκφώνηση είναι με φυσικούς.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μεγάλο Ν, μικρή η διαφορά.
Στον φάκελο των Ολυμπιάδων η μονοτονία, με κλασσικά μέσα αντιμετώπισης, είναι στην επιτρεπτή θεματική.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες