Όχι τέλειοι κύβοι

#1

Δείξτε ότι αποκλείεται οι φυσικοί αριθμοί n+2

και

να είναι και οι δύο τέλειοι κύβοι, όποιο και αν είναι το $n\in \mathbb N$ .

(Η λύση είναι μόνο δύο ή τρεις γραμμές, αν σκεφθείς πονηρά).

#2

Αν ήταν και οι δύο τέλειοι κύβοι, τότε θα ήταν τέλειος κύβος και ο (n+2)(n^2+n+1) = n^3+3n^2+3n+2 = (n+1)^3+1

.

Αυτό είναι άτοπο διότι τότε θα είχαμε δυο διαδοχικούς τέλειους κύβους θετικών ακεραίων, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί.

#3

#4