Τέλειο τετράγωνο

#1

Για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$ , ο αριθμός $\displaystyle{36^n + 2\cdot 5^n + 3}$ είναι τέλειο τετράγωνο;

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 16, 2022 11:38 pm
Για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$ , ο αριθμός $\displaystyle{36^n + 2\cdot 5^n + 3}$ είναι τέλειο τετράγωνο;

Για

δίνει

. Θα δούμε ότι κανένα άλλο

δεν μας κάνει.

Αρκεί να δείξουμε ότι για δεδομένο $n\ge 2$ , η παράσταση είναι γνήσια μεταξύ των διαδοχικών τελείων τετραγώνων (6^n)^2

και

.

Πράγματι, $36^n + 2\cdot 5^n + 3> 36^n = (6^n)^2$ και

$(6^n+1)^2= 36^n+2\cdot 6^n +1> 6^n+2\cdot (5^n +1)+1 = 36^n +2\cdot 5^n + 3$

(Xρησιμοποίησα την 6^n>5^n+1

για $n\ge 2$ . Αυτή αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους. Π.χ. 6^n=(5+1)^n>5^n+1^n=5^n+1

. Άλλος τρόπος: $6^n-5^n= (6-5)(6^{n-1}+...+5^{n-1})>1\cdot 1=1$ )

Τέλειο τετράγωνο

Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση