mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 11, 2020 12:46 am**

Ένα πλοίο Α βρίσκεται βόρεια ενός πλοίου Β και σε απόσταση 10 km από αυτό. Το πλοίο Α αρχίζει να κινείται νοτιοανατολικά και ταυτόχρονα το πλοίο Β αρχίζει να κινείται βορειοδυτικά με την ίδια ταχύτητα με το Α. Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των δύο πλοίων;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 11, 2020 9:32 am**

socrates έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 12:46 am
Ένα πλοίο Α βρίσκεται βόρεια ενός πλοίου Β και σε απόσταση 10 km από αυτό. Το πλοίο Α αρχίζει να κινείται νοτιοανατολικά και ταυτόχρονα το πλοίο Β αρχίζει να κινείται βορειοδυτικά με την ίδια ταχύτητα με το Α. Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των δύο πλοίων;

Τα πλοία κινούντα σε παράλληλες πορείες που σχηματίζουν 45^o

με τον άξονα Β-Ν. Αφού κινούνται με την ίδια ταχύτητα τότε όταν το

βρεθεί σε μία θέση

, σημαίνει ότι το

θα είναι σε θέση

, όπου

. Έπεται ότι το AA'BB'

είναι παραλληλόγραμμο. Αντίστροφα, οι κορυφές τέτοιου παραλληλογράμμου καθορίζουν τις θέσεις των πλοίων. Η μικρότερη απόσταση μεταξύ είναι όταν η A'B'

είναι κάθετη στις AA',BB'

. Άρα έχει μήκος $10\sqrt 2=5\sqrt 2$ (άμεσο).

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 12, 2020 7:32 pm**

Αναρτώ ένα σχήμα που ταιριάζει στη λύση του Μιχάλη. Δεν αναρτώ το κείμενο της λύσης μου γιατί έχει υπερκαλυφθεί.

: 11-12-2020 Minimum.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 1162 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 12, 2020 8:12 pm**

socrates έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 12:46 am
Ένα πλοίο Α βρίσκεται βόρεια ενός πλοίου Β και σε απόσταση 10 km από αυτό. Το πλοίο Α αρχίζει να κινείται νοτιοανατολικά και ταυτόχρονα το πλοίο Β αρχίζει να κινείται βορειοδυτικά με την ίδια ταχύτητα με το Α. Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των δύο πλοίων;

Γιώργο, ευχαριστώ για το σχήμα.

Τώρα που το ξαναβλέπω διαπιστώνω ότι δεν είναι ανάγκη τα πλοία να έχουν ίδιες ταχύτητες, ούτε καν σταθερές. Θα μπορούσε κάλλιστα να έχουν ταχύτητες οποιαδήποτε συνάρτηση με λογικές προϋποθέσεις όπως α) να είναι συνεχής και β) τα πλοία συνεχώς να απομακρύνονται από την αφετηρία τους οδεύοντας προς μακρυνούς τόπους.

Το θέτω ως απλή άσκηση. Προσοχή, δεν κάνει για Juniors γιατί χρησιμοποιεί κάτι που δεν το γνωρίζουν, εκτός αν σκεφτούν "πρακτικά-λογικά". Πάντως υπάρχει λύση στην εμβέλεια των Juniors, που θα έπειθε τον άνθρωπο της διπλανής πόρτας ο οποίος δεν τα πάει καλά με τα Μαθηματικά, αλλά του κόβει.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 12, 2020 9:07 pm**

: Ελάχιστη απόσταση πλοίων.png (3.63 KiB) Προβλήθηκε 1131 φορές

Από την στιγμή που τα κινητά κινούνται σε παράλληλες τροχιές , το πρόβλημα είναι απλό .

Φέρουμε $AO \perp BB'$ και αν υποθέσουμε ότι το πάνω κινητό αντί του AA'

διανύει το ίσο του OB'

,

το

είναι το ζητούμενο σημείο . Βρείτε το λοιπόν αν τα κινητά έχουν σταθερές ταχύτητες : $v_{A} , v_{B}$

και η απόσταση

, είναι

.

Πολύ πιο ενδιαφέρον θα ήταν το πρόβλημα , αν οι τροχιές των δύο κινητών , τέμνονταν σχηματίζοντας "διαχειρίσιμη" γωνία .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 12, 2020 9:53 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 12, 2020 8:12 pm

Τώρα που το ξαναβλέπω διαπιστώνω ότι δεν είναι ανάγκη τα πλοία να έχουν ίδιες ταχύτητες, ούτε καν σταθερές. Θα μπορούσε κάλλιστα να έχουν ταχύτητες οποιαδήποτε συνάρτηση με λογικές προϋποθέσεις όπως α) να είναι συνεχής και β) τα πλοία συνεχώς να απομακρύνονται από την αφετηρία τους οδεύοντας προς μακρυνούς τόπους.

Το θέτω ως απλή άσκηση. Προσοχή, δεν κάνει για Juniors γιατί χρησιμοποιεί κάτι που δεν το γνωρίζουν, εκτός αν σκεφτούν "πρακτικά-λογικά". Πάντως υπάρχει λύση στην εμβέλεια των Juniors, που θα έπειθε τον άνθρωπο της διπλανής πόρτας ο οποίος δεν τα πάει καλά με τα Μαθηματικά, αλλά του κόβει.

Επιχειρώ μιαν απάντηση. Πιθανολογώ ότι ο Μιχάλης αναφέρεται στο "κόκκινο σημείο" στο αν μπορεί να μπορεί οι δύο γραμμές να γίνουν κάθετες. Δίνω μια περιγραφική - εποπτική εξήγηση. Θα χαρώ να δω πλήρη αυστηρή αιτιολόγηση.

: 11-12-2020 Minimum.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 1112 φορές

Έστω ότι σε χρόνο

έχουν διανύσει διαδρομές AA’, BB’

αντίστοιχα, έχοντας τυχαίες ταχύτητες, κινούμενα πάντα στις παράλληλες ημιευθείες απομακρυνόμενα από τα A, B

αντίστοιχα.

Έστω

το σημείο τομής A’B’

με

. Τότε τα τρίγωνα AA’K, BB’K

είναι όμοια με $\displaystyle \frac{{A'K}}{{AK}} = \frac{{B'K}}{{BK}} = \frac{{{\rm A}'{\rm B}'}}{{10}} \Leftrightarrow {\rm A}'{\rm B}' = 10\frac{{{\rm A}'{\rm K}}}{{{\rm A}{\rm K}}}$ .

Από Ν. Ημιτόνων στο AKA’

είναι $\displaystyle \frac{{{\rm A}'{\rm K}}}{{\eta \mu 45^\circ }} = \frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{\eta \mu {\rm A}'}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm A}'{\rm K}}}{{{\rm A}{\rm K}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\eta \mu {\rm A}'}} \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ με το ίσον όταν AA’

κάθετη στο AA’

. Άρα η ελάχιστη απόσταση τους είναι $\displaystyle {\rm A}'{{\rm B}'_{\min }} = 5\sqrt 2$ .

Το ερώτημα είναι: Μπορεί το ημίτονο να πάρει την τιμή

;

Η γωνία $\displaystyle \widehat {A'}$ ξεκινά από τις $\displaystyle 135^\circ$ , όταν το πλοίο είναι στο λιμάνι και τείνει στο $\displaystyle 0^\circ$ , όταν το πλοίο απομακρύνεται «πολύ».

Πράγματι, από Ν. Ημιτόνων είναι $\displaystyle \eta \mu A' = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{{\rm A}'{\rm K}}}$ , με $\displaystyle {\rm A}{\rm K} < 10$ , άρα η οριακή τιμή του $\displaystyle \eta \mu {\rm A}'$ είναι

, όταν το

αυξάνει απεριόριστα.

Αφού δεχτήκαμε ότι είναι συνεχής συνάρτηση, για κάποια θέση του πλοίου παίρνει την τιμή

.

mathematica.gr

Ελάχιστη απόσταση

Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση