Από τριψήφιο σε μονοψήφιο

#1

Γράφουμε έναν τυχαίο τριψήφιο φυσικό αριθμό και μετά πολλαπλασιάζουμε τα ψηφία του. Επαναλαβάνουμε την διαδικασία με τον αριθμό που προκύπτει. Δείξτε ότι αν επαναλάβουμε ξανά και ξανά την διαδικασία, όσες φορές χρειαστεί, τότε αργά ή γρήγορα θα καταλήξουμε σε μονοψήφιο.

Ισχύει το ίδιο αν αρχίζαμε με τετραψήφιο;

Ας την αφήσουμε

ώρες στους μαθητές μας. Απευθύνομαι αρχικά σε μαθητές Γυμνασίου αλλά είναι προσιτή και σε μαθητές Δημοτικού αρκεί να καταλαβαίνουν τι θα πει "αποδείξτε".

Manolis Petrakis · #2

Μία γενίκευση της λύσης για οποιοδήποτε

-ψήφιο αριθμό.
Είναι: $a_1a_2a_2...a_n< 10^{n-1}a_1$
$\leq 10^{n-1}a_1 + 10^{n-2} a_2+ ... +10a_{n-1}+a_n$
$= \overline{a_1a_2a_2...a_n}$ για κάθε

-ψήφιο αριθμό $\overline{a_1a_2a_2...a_n}$ (αφού $a_1,a_2,...,a_n\leq 9$ )
Έτσι, αφού μετά από κάθε κίνηση ο αριθμός που προκύπτει από το γινόμενο των ψηφίων είναι μικρότερος του προηγουμένου κάποια στιγμή θα καταλήξουμε σε μονοψήφιο αριθμό.

Από τριψήφιο σε μονοψήφιο

Από τριψήφιο σε μονοψήφιο

Re: Από τριψήφιο σε μονοψήφιο

Μέλη σε σύνδεση