4 Ρίζες

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 570
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

4 Ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τετ Αύγ 14, 2019 5:41 pm

Δίνονται θετικοί πραγματικοί x_0, y_0, z_0 ώστε το πρόσημο κάθε παράγοντα του c=(x_0+y_0+z_0)(x_0+y_0-z_0)(z_0+x_0-y_0)(y_0+z_0-x_0) να είναι θετικό. Θεωρούμε θετικό πραγματικό x_1>x_0. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση (x_1+y+z_0)(x_1+y-z_0)(z_0+x_1-y)(y+z_0-x_1)=c (ως προς y) έχει 4 πραγματικές ρίζες.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2687
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: 4 Ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Αύγ 18, 2019 11:43 pm

Επαναφορά.


harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: 4 Ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Δευ Αύγ 19, 2019 2:43 pm

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής:

"Δίνεται τρίγωνο ABC με πλευρές x_0,y_0,z_0 εμβαδού E. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά z_0 σταθερή και μεγαλώσουμε την x_0 τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν."

Απόδειξη: Έστω ότι z_0=BC. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην BC που απέχουν h_a από αυτήν. Ανοίγουμε τον διαβήτη κατά x_1 οπότε παίρνουμε 4 σημεία στις 2 ευθείες αφού σίγουρα x_1>h_a. Έστω A_1,A_2,A_3,A_4 τα σημεία αυτά. Τα τρίγωνα BCA_1,BCA_2,BCA_3,BCA_4 είναι τα ζητούμενα.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 570
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: 4 Ρίζες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Αύγ 19, 2019 2:49 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Δευ Αύγ 19, 2019 2:43 pm
Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής:

"Δίνεται τρίγωνο ABC με πλευρές x_0,y_0,z_0 εμβαδού E. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά z_0 σταθερή και μεγαλώσουμε την x_0 τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν."

Απόδειξη: Έστω ότι z_0=BC. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην BC που απέχουν h_a από αυτήν. Ανοίγουμε τον διαβήτη κατά x_1 οπότε παίρνουμε 4 σημεία στις 2 ευθείες αφού σίγουρα x_1>h_a. Έστω A_1,A_2,A_3,A_4 τα σημεία αυτά. Τα τρίγωνα BCA_1,BCA_2,BCA_3,BCA_4 είναι τα ζητούμενα.
Σωστά. Αυτή ήταν η ιδέα (μάλλον γίνεται και με μια γνωστή ταυτότητα). Βέβαια το πρόβλημα δεν είναι ισοδύναμο με αυτό απλά τυχαίνει να αρκεί να θεωρήσουμε ότι η y θα είναι μαζί με τις x_1,z_0 πλευρές τριγώνου, και λόγω της αρτιότητας να θεωρήσουμε και τις αρνητικές αντίστοιχα.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: 4 Ρίζες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Δευ Αύγ 19, 2019 3:15 pm

JimNt. έγραψε:
Δευ Αύγ 19, 2019 2:49 pm
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Δευ Αύγ 19, 2019 2:43 pm
Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής:

"Δίνεται τρίγωνο ABC με πλευρές x_0,y_0,z_0 εμβαδού E. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά z_0 σταθερή και μεγαλώσουμε την x_0 τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν."

Απόδειξη: Έστω ότι z_0=BC. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην BC που απέχουν h_a από αυτήν. Ανοίγουμε τον διαβήτη κατά x_1 οπότε παίρνουμε 4 σημεία στις 2 ευθείες αφού σίγουρα x_1>h_a. Έστω A_1,A_2,A_3,A_4 τα σημεία αυτά. Τα τρίγωνα BCA_1,BCA_2,BCA_3,BCA_4 είναι τα ζητούμενα.
Σωστά. Αυτή ήταν η ιδέα (μάλλον γίνεται και με μια γνωστή ταυτότητα). Βέβαια το πρόβλημα δεν είναι ισοδύναμο με αυτό απλά τυχαίνει να αρκεί να θεωρήσουμε ότι η y θα είναι μαζί με τις x_1,z_0 πλευρές τριγώνου, και λόγω της αρτιότητας να θεωρήσουμε και τις αρνητικές αντίστοιχα.
Έχεις δίκιο το παρέλειψα. Ευχαριστώ για την συμπλήρωση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης