Για μαθητές μέχρι αύριο!Κάποιος έγραψε:Αν ο φυσικός αριθμός είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων, να αποδείξετε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.
Άθροισμα Τετραγώνων
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Άθροισμα Τετραγώνων
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Τετραγώνων
Ακόμα καλύτερα δείξτε ότι αν οι είναι ο καθένας άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων, τότε και το γινόμενό τους είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Για μαθητές μέχρι αύριο!Κάποιος έγραψε:Αν ο φυσικός αριθμός είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων, να αποδείξετε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.
Εδώ είναι βέβαια .
Ας προσθέσω ότι πρόκειται για πολλή γνωστή, χιλιοειπωμένη άσκηση.
Edit: Πρόσθεσα διόρθωση (με κόκκινο)
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Ιουν 26, 2017 9:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 73
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 09, 2017 7:33 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
Re: Άθροισμα Τετραγώνων
ΘέτωMihalis_Lambrou έγραψε:Ακόμα καλύτερα δείξτε ότι αν οι είναι ο καθένας άθροισμα τετραγώνων, τότε και το γινόμενό τους είναι άθροισμα τετραγώνων.Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Για μαθητές μέχρι αύριο!Κάποιος έγραψε:Αν ο φυσικός αριθμός είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων, να αποδείξετε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.
Εδώ είναι βέβαια .
Ας προσθέσω ότι πρόκειται για πολλή γνωστή, χιλιοειπωμένη άσκηση.
Τότε,
Μπορεί να απογοητευθείς αν αποτύχεις, αλλά είσαι χαμένος αν δεν προσπαθήσεις.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Τετραγώνων
Σωστά, αλλά εννοούσα οι να είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων ο καθένας.
Άλλωστε αυτό κατάλαβες και ο ίδιος αφού ξεκινάς με
Ζητώ συγνώμη, αλλά ας ξαναδούμε την άσκηση:
Θέλουμε να δείξουμε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.
Έκανα διόρθωση στην αρχική εκφώνηση παραπάνω.
Άλλωστε αυτό κατάλαβες και ο ίδιος αφού ξεκινάς με
Όμως καταλήγεις στοPanagiotis11 έγραψε: Θέτω
(τέσσερα τετράγωνα).Panagiotis11 έγραψε:
Ζητώ συγνώμη, αλλά ας ξαναδούμε την άσκηση:
Θέλουμε να δείξουμε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.
Έκανα διόρθωση στην αρχική εκφώνηση παραπάνω.
-
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm
Re: Άθροισμα Τετραγώνων
Η άσκηση προφανώς εννοεί ΔΥΟ τετραγώνων. Με την ευκαιρία όμως της εσφαλμένης λύσης αυτής, θα ήθελα να σημειώσω (και να επιβεβαιώσω, γιατί δεν είμαι απόλυτα σίγουρος για αυτό που θα πω) ότι "κάθε θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 3 γράφεται ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων ακεραίων". Το έχω ακούσει ως πρόταση, αλλά δεν έχω περισσότερα στοιχεία για αυτήν. Θα παρακαλούσα κάποιο μέλος που γνωρίζει κάτι παραπάνω να μας πληροφορήσει.Panagiotis11 έγραψε:ΘέτωMihalis_Lambrou έγραψε:Ακόμα καλύτερα δείξτε ότι αν οι είναι ο καθένας άθροισμα τετραγώνων, τότε και το γινόμενό τους είναι άθροισμα τετραγώνων.Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Για μαθητές μέχρι αύριο!Κάποιος έγραψε:Αν ο φυσικός αριθμός είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων, να αποδείξετε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.
Εδώ είναι βέβαια .
Ας προσθέσω ότι πρόκειται για πολλή γνωστή, χιλιοειπωμένη άσκηση.
Τότε,
Edit: Mε πρόλαβε ο κος. Λάμπρου. Το αφήνω για το περαιτέρω θέμα που ανοίγω.
Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Τετραγώνων
Σωστό (αλλά δεν χρειάζεται ο περιορισμός "μεγαλύτερος του 3"). Πρόκειται για το λεγόμενο Θεώρημα Lagrange. Βλέπε εδώ.jasonmaths4ever έγραψε: "κάθε θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 3 γράφεται ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων ακεραίων".
Όλες οι προχωρημένες Θεωρίες Αριθμών το περιέχουν.
-
- Δημοσιεύσεις: 73
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 09, 2017 7:33 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
Re: Άθροισμα Τετραγώνων
Ωραία.. Συγγνώμη για την απάντηση,κατάλαβα λάθος λόγω της εκφώνησης.Mihalis_Lambrou έγραψε:Σωστά, αλλά εννοούσα οι να είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων ο καθένας.
Άλλωστε αυτό κατάλαβες και ο ίδιος αφού ξεκινάς μεΌμως καταλήγεις στοPanagiotis11 έγραψε: Θέτω
(τέσσερα τετράγωνα).Panagiotis11 έγραψε:
Ζητώ συγνώμη, αλλά ας ξαναδούμε την άσκηση:
Θέλουμε να δείξουμε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.
Έκανα διόρθωση στην αρχική εκφώνηση παραπάνω.
Μένουμε στο
Ελπίζω αυτή να είναι η λύση που θα θέλατε!
Μπορεί να απογοητευθείς αν αποτύχεις, αλλά είσαι χαμένος αν δεν προσπαθήσεις.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Τετραγώνων
Παναγιώτη, προσοχή. Η λύση σου δεν είναι σωστή.
Εδώ
Ζητά να δείξεις ότι ο αριθμός είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.
Αυτό που έδειξες είναι μία ταυτολογία: Αν ένας αριθμός είναι γινόμενο δύο τελείων τετραγώνων τότε είναι ... γινόμενο δύο τελείων τετραγώνων.
Εδώ
απλά επαναλαμβάνεις αλλά με ανάποδη σειρά αυτό που είχες γράψει στην πρώτη σου λύση:Panagiotis11 έγραψε: Μένουμε στο
Όμως η άσκηση δεν ζητά αυτό που έδειξες δύο φορές.Panagiotis11 έγραψε: Τότε,
Ζητά να δείξεις ότι ο αριθμός είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.
Αυτό που έδειξες είναι μία ταυτολογία: Αν ένας αριθμός είναι γινόμενο δύο τελείων τετραγώνων τότε είναι ... γινόμενο δύο τελείων τετραγώνων.
-
- Δημοσιεύσεις: 73
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 09, 2017 7:33 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
Re: Άθροισμα Τετραγώνων
Άλλη μία προσπάθεια
Είναι:
Βέβαια μπορεί να ισχύσει και το αντίστροφο δηλαδή με την αντιμεταθετική ιδιότητα.
Είναι:
Βέβαια μπορεί να ισχύσει και το αντίστροφο δηλαδή με την αντιμεταθετική ιδιότητα.
Μπορεί να απογοητευθείς αν αποτύχεις, αλλά είσαι χαμένος αν δεν προσπαθήσεις.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Τετραγώνων
Ωραιότατα.Panagiotis11 έγραψε: Είναι:
Για την ιστορία, η πρώτη εμφάνιση της παραπάνω ταυτότητας σε Δυτικό βιβλίο είναι στο Liber Αbaci (1202) του Leonardo Fibonacci (1170 – 1250).
Η αρχική άσκηση που ζήταγε να δείξουμε ότι ο είναι άθροισμα τετραγώνων αν συμβαίνει το ίδιο για τον , είναι απλή: .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες