Ταυτότητα με γινόμενα
Συντονιστής: polysot
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Ταυτότητα με γινόμενα
Καλημέρα.
Κατέληξα στην παρακάτω-ενδιαφέρουσα πιστεύω- ταυτότητα και είπα να την μοιραστώ.
Ίσως βέβαια να είναι γνωστό αποτέλεσμα ή να βγαίνει πολύ γρηγορότερα από τον δικό μου τρόπο.
Να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει
, όπου συμβολίζει το πλήθος των θετικών διαιρετών του .
Κατέληξα στην παρακάτω-ενδιαφέρουσα πιστεύω- ταυτότητα και είπα να την μοιραστώ.
Ίσως βέβαια να είναι γνωστό αποτέλεσμα ή να βγαίνει πολύ γρηγορότερα από τον δικό μου τρόπο.
Να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει
, όπου συμβολίζει το πλήθος των θετικών διαιρετών του .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ταυτότητα με γινόμενα
Επαγωγηκα.....
Θα επανέλθω.
αν ο δεν διαιρεί τον .
αν
Για προφανώς και ισχύει.
Έστω ότι ισχύει για θα δείξουμε πως ισχύει και για .
Έστω
Το τελευταίο προφανος και ισχύει αφού:
Η δύναμη του που διαιρεί το είναι
Η δύναμη του που διαιρεί το είναι
Άρα
Θα επανέλθω.
αν ο δεν διαιρεί τον .
αν
Για προφανώς και ισχύει.
Έστω ότι ισχύει για θα δείξουμε πως ισχύει και για .
Έστω
Το τελευταίο προφανος και ισχύει αφού:
Η δύναμη του που διαιρεί το είναι
Η δύναμη του που διαιρεί το είναι
Άρα
Re: Ταυτότητα με γινόμενα
Καλησπέρα!
Πολύ όμορφο το πρόβλημα του Πρόδρομου και εξαιρετική η λύση του Διονύση!
Θα προσθέσω άλλον έναν τρόπο για να αποδείξουμε το τελευταίο μέρος της λύσης , δηλαδή την ισότητα:
.
Για κάθε διαιρέτη
του , το είναι επίσης διαιρέτης, και οι δύο διαιρέτες έχουν γινόμενο .
Άρα, οι διαιρέτες χωρίζονται σε ζεύγη με κάθε ζεύγος να έχει γινόμενο .
Οι διαιρέτες είναι το πλήθος και άρα το γινόμενό τους ισούται με .
Ας δούμε και μια λύση χωρίς επαγωγή:
Είναι γνωστό ότι ισχύει:
.
Από την ταυτότητα του Legendre έχω:
Είναι γνωστό ότι ισχύει:
.
Συνεπώς, έχω:
,
όπου
Μένει να δείξω ότι η τελευταία παράσταση ισούται με το .
Διαισθάνομαι ότι αυτό μπορεί να αποδειχθεί σχετικά εύκολα με απλές μεθόδους απαρίθμησης. Θα προσπαθήσω να επανέλθω σύντομα με την ολοκλήρωση της λύσης.
Πολύ όμορφο το πρόβλημα του Πρόδρομου και εξαιρετική η λύση του Διονύση!
Θα προσθέσω άλλον έναν τρόπο για να αποδείξουμε το τελευταίο μέρος της λύσης , δηλαδή την ισότητα:
.
Για κάθε διαιρέτη
του , το είναι επίσης διαιρέτης, και οι δύο διαιρέτες έχουν γινόμενο .
Άρα, οι διαιρέτες χωρίζονται σε ζεύγη με κάθε ζεύγος να έχει γινόμενο .
Οι διαιρέτες είναι το πλήθος και άρα το γινόμενό τους ισούται με .
Ας δούμε και μια λύση χωρίς επαγωγή:
Είναι γνωστό ότι ισχύει:
.
Από την ταυτότητα του Legendre έχω:
Είναι γνωστό ότι ισχύει:
.
Συνεπώς, έχω:
,
όπου
Μένει να δείξω ότι η τελευταία παράσταση ισούται με το .
Διαισθάνομαι ότι αυτό μπορεί να αποδειχθεί σχετικά εύκολα με απλές μεθόδους απαρίθμησης. Θα προσπαθήσω να επανέλθω σύντομα με την ολοκλήρωση της λύσης.
τελευταία επεξεργασία από ksofsa σε Τρί Ιούλ 27, 2021 8:36 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κώστας
Re: Ταυτότητα με γινόμενα
Επανέρχομαι για την ολοκλήρωση της απόδειξης.
Θα αποδείξω τον τελευταίο ισχυρισμό με επαγωγή. (Δε γλυτώνουμε την επαγωγή τελικά!)
Έστω για . Θα δείξω για .
Έστω .
Στην ποσότητα ,
προστίθεται η ποσότητα
ενώ στην άλλη ποσότητα με την οποία θέλουμε να εξισώσουμε, προστίθεται η ποσότητα
.
Μένει να δείξω ότι οι δύο προστιθέμενες ποσότητες είναι ίσες και έτσι δεν αλλοιώνουν την ισότητα της υπόθεσης της επαγωγής.
Πράγματι,
.
Θα αποδείξω τον τελευταίο ισχυρισμό με επαγωγή. (Δε γλυτώνουμε την επαγωγή τελικά!)
Έστω για . Θα δείξω για .
Έστω .
Στην ποσότητα ,
προστίθεται η ποσότητα
ενώ στην άλλη ποσότητα με την οποία θέλουμε να εξισώσουμε, προστίθεται η ποσότητα
.
Μένει να δείξω ότι οι δύο προστιθέμενες ποσότητες είναι ίσες και έτσι δεν αλλοιώνουν την ισότητα της υπόθεσης της επαγωγής.
Πράγματι,
.
Κώστας
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ταυτότητα με γινόμενα
Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις
Παρουσιάζω το πως κατέληξα στην ταυτότητα, χωρίς επαγωγή.
Παίρνουμε αρχικά όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων τέτοια ώστε και .
Από όλα συνολικά τα ζεύγη σχηματίζουμε το γινόμενο που προκύπτει από τους πρώτους όρους των ζευγών, δηλαδή το γινόμενο όλων των .
Θα το κάνουμε με δύο τρόπους και θα πάρουμε μία ισότητα.
1ος: Σταθεροποιώ . Θα υπάρχουν συνολικά ζεύγη που θα ανήκει, έτσι το γινόμενο είναι
2ος: Σταθεροποιώ το . Το γινόμενο όλων των στα ζεύγη που ορίζει το είναι το γινόμενο των διαιρετών του οπότε ίσο με και έτσι το ολικό γινόμενο που είναι και το δεξί μέλος στην ζητούμενη σχέση.
Μένει τώρα να δείξουμε ότι .
Κάθε υπάρχει φορές στο δεξί μέλος και μία φορά σε κάθε παράγοντα για τον οποίο (και μόνο σε αυτούς).
Η τελευταία όμως ισοδυναμεί με η οποία έχει ακριβώς λύσεις και έτσι κάθε παράγοντας εμφανίζεται τον ίδιο αριθμό φορών και στα δύο μέλη. Το συμπέρασμα έπεται.
Παρουσιάζω το πως κατέληξα στην ταυτότητα, χωρίς επαγωγή.
Παίρνουμε αρχικά όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων τέτοια ώστε και .
Από όλα συνολικά τα ζεύγη σχηματίζουμε το γινόμενο που προκύπτει από τους πρώτους όρους των ζευγών, δηλαδή το γινόμενο όλων των .
Θα το κάνουμε με δύο τρόπους και θα πάρουμε μία ισότητα.
1ος: Σταθεροποιώ . Θα υπάρχουν συνολικά ζεύγη που θα ανήκει, έτσι το γινόμενο είναι
2ος: Σταθεροποιώ το . Το γινόμενο όλων των στα ζεύγη που ορίζει το είναι το γινόμενο των διαιρετών του οπότε ίσο με και έτσι το ολικό γινόμενο που είναι και το δεξί μέλος στην ζητούμενη σχέση.
Μένει τώρα να δείξουμε ότι .
Κάθε υπάρχει φορές στο δεξί μέλος και μία φορά σε κάθε παράγοντα για τον οποίο (και μόνο σε αυτούς).
Η τελευταία όμως ισοδυναμεί με η οποία έχει ακριβώς λύσεις και έτσι κάθε παράγοντας εμφανίζεται τον ίδιο αριθμό φορών και στα δύο μέλη. Το συμπέρασμα έπεται.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες