Σύνθεση ομοιοθεσιών

#1

Έστω δύο ομοιοθεσίες. Να αποδειχτεί ότι η σύνθεσή τους

1. είναι ομοιοθεσία,

2. έχει λόγο το γινόμενο των λόγων τους, και

3. το κέντρο της βρίσκεται στην ευθεία των κέντρων τους.

Για μαθητές.

#2

rek2 έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 14, 2019 10:55 pm
Έστω δύο ομοιοθεσίες. Να αποδειχτεί ότι η σύνθεσή τους

1. είναι ομοιοθεσία,

2. έχει λόγο το γινόμενο των λόγων τους, και

3. το κέντρο της βρίσκεται στην ευθεία των κέντρων τους.

Για μαθητές.

Κώστα, αφού μέχρι τώρα δεν απαντήθηκε από μαθητές,
τολμώ να παρουσιάσω τη σκέψη μου.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Σύνθεση ομοιοθεσιών 1.png (17.73 KiB) Προβλήθηκε 2575 φορές

Θεωρούμε τις δυο ομοιοθεσίες οι οποίες είναι:

$\displaystyle{H_{1(O_1,l_1)}, \ \ H_{2(O_2,l_2)}}$

από τις οποίες η πρώτη έχει κέντρο το σημείο $\displaystyle{O_1}$ και λόγο $\displaystyle{l_1}$
και η δεύτερη έχει κέντρο το σημείο $\displaystyle{O_2}$ και λόγο $\displaystyle{l_2}$ .

H πρώτη ομοιοθεσία αφού εφαρμόστηκε στο τυχαίο σημείο $\displaystyle{A}$ παρήγαγε ως αποτέλεσμα το σημείο $\displaystyle{A_1}$
για το οποίο ισχύει:

$\displaystyle{(O_1A_1)=l_1(O_1A) \Rightarrow \frac{(OA_1)}{(OA)}=l_1 \ \ (1)}$

Αν τώρα στο σημείο $\displaystyle{A_1}$ εφαρμοστεί η δεύτερη ομοιοθεσία τότε θα παραχθεί το σημείο $\displaystyle{A_2}$
για το οποίο θα ισχύει:

$\displaystyle{(O_2A_2)=l_2(O_2A_1) \Rightarrow \frac{(O_2A_2)}{(O_2A_1)}=l_2 \ \ (2)}$

Η σύνθεσή των θα είναι εκείνη η ομοιοθεσία που θα εφαρμόζεται στο σημείο $\displaystyle{A}$ και θα παράγει το
σημείο $\displaystyle{A_2}$ .
Ας τη συμβολίσουμε ως $\displaystyle{H_2\circ H_1}$ . Στη συνέχεια θα πρέπει να βρούμε τα στοιχεία της,
δηλαδή το κέντρο της $\displaystyle{O_3}$ και το λόγο της $\displaystyle{l_3}$ .

Στο ανωτέρω σχήμα, θεωρούμε ως $\displaystyle{O_3}$ την τομή της ευθείας $\displaystyle{(e)}$ των κέντρων $\displaystyle{O_1,O_2}$ με
την ευθεία των $\displaystyle{AA_2}$ . Τότε από το θεώρημα του Μενελάου θα είναι:

$\displaystyle{\frac{O_1A}{O_1A_1}\cdot \frac{O_2A_1}{O_2A_2} \cdot \frac{O_3A_2}{O_3A}=1}$

και από τις (1) και (2) θα είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{l_1}\cdot \frac{1}{l_2} \cdot \frac{O_3A_2}{O_3A}=1}$

δηλαδή:

$\displaystyle{(O_3A_2)=l_1l_2(O_3A) \ \ (3)}$

Η σχέση (3) δηλώνει ότι το σημείο $\displaystyle{O_3}$ είναι το κέντρο της σύνθεσης και ότι ο λόγος αυτής είναι:

$\displaystyle{l=l_1\cdot l_2}$

Το ακόλουθο σχήμα δείχνει πιο παραστατικά την προηγούμενη ιδέα, γιατί από σημείο η σύνθεση
δουλεύει σε τρίγωνο.

: Σύνθεση ομοιοθεσιών 2.png (29.16 KiB) Προβλήθηκε 2575 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#3

Ας το κάνουμε και αλγεβρικά. Μετακινώντας τους άξονες μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πρώτη ομοιοθεσία έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και λόγο

. Έστω ότι η δεύτερη έχει κέντρο

και λόγο $\ell$ . Ας γράψουμε $\mathbf{a}$ για το διάνυσμα θέσης του

. Τότε οι δυο ομοιοθεσίες έχουν τύπους

$\displaystyle f(\mathbf{x}) = k\mathbf{x}$ και $g(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \ell (\mathbf{x}-\mathbf{a})$ .

Η σύνθεσή τους έχει τύπο

$\displaystyle g(f(\mathbf{x})) = \mathbf{a} + \ell (k\mathbf{x}-\mathbf{a}) = \ell k \mathbf{x} + (1-\ell) \mathbf{a} = \ell k \mathbf{x} + (1-\ell k)\left[ \frac{1-\ell}{1-\ell k} \mathbf{a}\right] = \mathbf{b} + \ell k (\mathbf{x} - \mathbf{b})$

όπου $\displaystyle \mathbf{b} = \frac{1-\ell}{1-\ell k}\mathbf{a}$

Άρα έχει λόγο $k \ell$ , ο οποίος είναι το γινόμενο των λόγων των δύο ομοιοθεσιών, και κέντρο

με διάνυσμα θέσης $\mathbf{b}$ , το οποίο προφανώς ανήκει στην ευθεία

.

Μοναδική εξαίρεση η περίπτωση όπου το γινόμενο των λόγων ισούται με

. Τότε η σύνθεση δεν είναι ομοιοθεσία αλλά μετάθεση με διεύθυνση παράλληλη προς την ευθεία που συνδέει τα κέντρα των δύο ομοιοθεσιών.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Να το δούμε με μιγαδικούς.
Η $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$

είναι ομοιοθεσία με λόγο $\lambda > 0$ και κέντρο $z_{0}\in \mathbb{C}$

αν και μόνο αν $f(z)-z_{0}=\lambda (z-z_{0})$

δηλαδή $f(z)=\lambda z+z_{0}(1-\lambda )$

Αν έχουμε και μία άλλη ομοιοθεσία την

$g(z)=\mu z+w_{0}(1-\mu )$

τότε η συνθεση τους είναι η

$f(g(z))=\lambda \mu z+\lambda w_{0}(1-\mu )+z_{0}(1-\lambda )$

Αν $\lambda \mu=1$ προφανώς είναι μεταφορά.

Διαφορετικά γράφεται

$f(g(z))=\lambda \mu z+(1-\lambda \mu) \frac{\lambda w_{0}(1-\mu )+z_{0}(1-\lambda )}{1-\lambda \mu}$

Το κέντρο της είναι το

$\frac{\lambda w_{0}(1-\mu )+z_{0}(1-\lambda )}{1-\lambda \mu}=w_{0}\frac{\lambda (1-\mu )}{1-\lambda \mu}+z_{0}\frac{1-\lambda }{1-\lambda \mu }$

και επειδή $\frac{\lambda (1-\mu )}{1-\lambda \mu}+\frac{1-\lambda }{1-\lambda \mu }=1$

βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα $z_{0},w_{0}$

#5

Ας δούμε την περίπτωση όπου, οι λόγοι των δυο ομοιοθεσιών
ικανοποιούν τη σχέση:
$\displaystyle{l_1l_2=1}$ ,
δημιουργούν μια παράλληλη μετατόπιση και να βρούμε και το διάνυσμα μετατόπισης.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Σύνθεση ομοιοθεσιών 3.png (10.55 KiB) Προβλήθηκε 2437 φορές

Είναι:

$\displaystyle{\overrightarrow {AA_2}=\overrightarrow{AO_1}+\overrightarrow{O_1O_2}+\overrightarrow{O_2A_2}=-\frac{1}{l_1}\cdot \overrightarrow{O_1A_1}+ \overrightarrow{O_1O_2}+\frac{1}{l_1}\cdot \overrightarrow{O_2A_1} \Rightarrow}$

$\displaystyle{\overrightarrow{AA_2}=\frac{1}{l_1} \cdot (-\overrightarrow{O_1A_1}+\overrightarrow{O_2A_1})+\overrightarrow{O_1O_2}=\frac{1}{l_1} (\overrightarrow{O_2A_1}+\overrightarrow{A_1O_1})+\overrightarrow{O_1O_2} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\overrightarrow{AA_2}=\frac{1}{l_1} \cdot \overrightarrow{O_2O_1}+\overrightarrow{O_1O_2} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\overrightarrow{AA_2}=(\frac{l_1-1}{l_1}) \cdot \overrightarrow{O_1O_2} \ \ (1) }$

Η σχέση (1) δηλώνει ότι η σύνθεση των δύο αυτών ομοιοθεσιών είναι ο μετασχηματισμός της παράλληλης
μεταφοράς ως προς το διάνυσμα:

$\displaystyle{ \overrightarrow{t}=(\frac{l_1-1}{l_1}) \cdot \overrightarrow{O_1O_2}}$

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Θα μπορούσε να δειχθεί και με ομοιότητα τριγώνων....

#6

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 21, 2019 1:04 am
...

Το ακόλουθο σχήμα δείχνει πιο παραστατικά την προηγούμενη ιδέα, γιατί από σημείο η σύνθεση
δουλεύει σε τρίγωνο.

Σύνθεση ομοιοθεσιών 2.png

Κώστας Δόρτσιος

...Και βέβαια, αν θέλουμε να δουμε την σύνθεση σε ευθύγραμμα τμήματα, τότε αν γράψουμε τους κύκλους που εφάπτονται στους άξονες ομοιοθεσίας, με σημεία επαφής τα άκρα των τμημάτων αυτών, τότε έχουμε την περίφημη απόδειξη του Monge (Monge's theorem)...

Εδώ Φίλε Κώστα, επικαλούμαι την μαεστρία σου στα λογισμικά.

#7

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 30, 2019 10:39 pm
...Και βέβαια, αν θέλουμε να δουμε την σύνθεση σε ευθύγραμμα τμήματα, τότε αν γράψουμε τους κύκλους που εφάπτονται στους άξονες ομοιοθεσίας, με σημεία επαφής τα άκρα των τμημάτων αυτών, τότε έχουμε την περίφημη απόδειξη του Monge (Monge's theorem)...

Εδώ Φίλε Κώστα, επικαλούμαι την μαεστρία σου στα λογισμικά.

Φίλε Κώστα, καλησπέρα από Γρεβενά...Να είσαι καλά...

Μετά χαράς αναρτώ το σχήμα που έχεις προτείνει..

: Θεώρημα του Monge 1.png (26.84 KiB) Προβλήθηκε 2284 φορές

Στον κόκκινο κύκλο έχει εφαρμοστεί η ομοιοθεσία $\displaystyle{H_1(O_1, l_1)}$
και προέκυψε ως εικόνα ο πράσινος κύκλος.

Στη συνέχεια στον πράσινο κύκλο έχει εφαρμοστεί η ομοιοθεσία $\displaystyle{H_2(O_2, l_2)}$
και προέκυψε ο θαλασσί κύκλος, ο οποίος, όπως έχει συζητηθεί προηγούμενα, είναι
ομοιόθετος και του πρώτου κύκλου του κόκκινου με κέντρο το σημείο $\displaystyle{O_3}$ ,
κείμενο επί της $\displaystyle{O_1,O_2}$ και με λόγο ομοιοθεσίας $\displaystyle{ l_3=l_1\cdot l_2}$ .

Για περισσότερες εικόνες και για αρνητικούς λόγους αναρτώ και το δυναμικό σχήμα
με οδηγίες.

Σύνθεση ομοιοθεσιών 3.ggb: (23.69 KiB) Μεταφορτώθηκε 46 φορές

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Κώστα, με την ευκαιρία του μικρού αποσπάσματος από τον προσωκρατικό Επίχαρμο που
αναρτάς κάθε φορά, θέλω να πω πόσο σπουδαία πράγματα είπε ο φιλόσοφος αυτός! Κι ας
έζησε τέλη του έκτου και αρχές του πέμπτου αιώνα π. Χ.

Σύνθεση ομοιοθεσιών

Σύνθεση ομοιοθεσιών

Re: Σύνθεση ομοιοθεσιών

Re: Σύνθεση ομοιοθεσιών

Re: Σύνθεση ομοιοθεσιών

Re: Σύνθεση ομοιοθεσιών

Re: Σύνθεση ομοιοθεσιών

Re: Σύνθεση ομοιοθεσιών

Μέλη σε σύνδεση