ενέλιξη
Συντονιστής: polysot
ενέλιξη
Μετά την τέμνουσα τετραπλεύρου, στην γενίκευση του Μενελάου, που είδαμε στον σύνδεσμο
viewtopic.php?f=167&t=63414
αξίζει να δούμε και αυτήν, η οποία έχει σπουδαίες προεκτάσεις:
Δίνεται τετράπλευρο και ευθεία που τέμνει τις κατά σειρά στα σημεία . Να αποδειχτεί ότι:
Αν, επιπλέον, το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (ή σε οποιαδήποτε κωνική) τον οποίο η ευθεία τέμνει στα σημεία , τότε
viewtopic.php?f=167&t=63414
αξίζει να δούμε και αυτήν, η οποία έχει σπουδαίες προεκτάσεις:
Δίνεται τετράπλευρο και ευθεία που τέμνει τις κατά σειρά στα σημεία . Να αποδειχτεί ότι:
Αν, επιπλέον, το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (ή σε οποιαδήποτε κωνική) τον οποίο η ευθεία τέμνει στα σημεία , τότε
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Λέξεις Κλειδιά:
Re: ενέλιξη
Έτσι είναι!
Βέβαια η ιδέα, στο πρώτο μέρος, είναι "κλεμμένη" από τον Πάππο. Αν μπορείς βάλε λύση, όχι παραπομπή. Λόγω φακέλλου καλόν είναι να υπάρχει λύση.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: ενέλιξη
Για να δούμε.Για το πρώτο σκέλος:Αρκεί (υποθέτω-νομίζω ότι εννοείτε αντί ),δηλαδή .Είναι όμως και και το ζητούμενο δείχτηκε.
Για το δεύτερο σκέλος:Είναι (ο διπλός λόγος δέσμης 4 σημείων και κέντρου σε κωνική είναι ανεξάρτητος του κέντρου) δηλαδή .Έχουμε ότι ένας προβολικός μετασχηματισμός σε μια ευθεία ορίζεται από 3 ζεύγη σημείων (δεδομένων τριών σημείων,κατασκευάζεται μονάχα ένα ώστε η τετράδα να έχει δοσμένο διπλό λόγο).Για τον προβολικό μετασχηματισμό πάνω στην l που ορίζεται από τα ζεύγη ,έστω f ,ισχύει για κάθε σημείο.Αυτό έπεται από την πρόταση:
Αν ένας προβολικός μετασχηματισμός f σε ευθεία στέλνει την εικόνα ενός σημείου ,έστω
στο ,κάνει το ίδιο για όλα τα σημεία.
Αυτό ισχύει επειδή αν ένα άλλο σημείο και ,θα είναι κλπ.
Επιπλέον,αυτός ο μετασχηματισμός στέλνει το στο και αντίστροφα (από
) ενώ από το
στέλνει και το στο και αντίστροφα.Τελικά δηλαδή τα ζεύγη είναι όλα συζηγή του ίδιου προβολικού μετασχηματισμού από το οποίο έπεται η σχέση προς απόδειξη(η ισότητα διπλών λόγων).
Edit:σημαντικές αλλαγές
Για το δεύτερο σκέλος:Είναι (ο διπλός λόγος δέσμης 4 σημείων και κέντρου σε κωνική είναι ανεξάρτητος του κέντρου) δηλαδή .Έχουμε ότι ένας προβολικός μετασχηματισμός σε μια ευθεία ορίζεται από 3 ζεύγη σημείων (δεδομένων τριών σημείων,κατασκευάζεται μονάχα ένα ώστε η τετράδα να έχει δοσμένο διπλό λόγο).Για τον προβολικό μετασχηματισμό πάνω στην l που ορίζεται από τα ζεύγη ,έστω f ,ισχύει για κάθε σημείο.Αυτό έπεται από την πρόταση:
Αν ένας προβολικός μετασχηματισμός f σε ευθεία στέλνει την εικόνα ενός σημείου ,έστω
στο ,κάνει το ίδιο για όλα τα σημεία.
Αυτό ισχύει επειδή αν ένα άλλο σημείο και ,θα είναι κλπ.
Επιπλέον,αυτός ο μετασχηματισμός στέλνει το στο και αντίστροφα (από
) ενώ από το
στέλνει και το στο και αντίστροφα.Τελικά δηλαδή τα ζεύγη είναι όλα συζηγή του ίδιου προβολικού μετασχηματισμού από το οποίο έπεται η σχέση προς απόδειξη(η ισότητα διπλών λόγων).
Edit:σημαντικές αλλαγές
Re: ενέλιξη
Μιλώντας "προβολικά", η απόδειξη θα πρέπει να γίνει έτσι, όπως την έκανε ο min£##!
Ας την δούμε, όμως, και με τον κακώς παραμελειμένο, και κατά την γνώμη μου πολύ, Μενέλαο.
Έστω το σημείο που τέμνονται οι . Το κλειδί είναι το τρίγωνο του οποίου διατέμνουσες είναι δύο από τις πλευρές και οι δύο διαγώνιοι του αρχικού τετραπλεύρου. Έτσι με διατέμουσες τις πλευρές έχουμε:
Και από εδώ θα πάρουμε:
Με αυτή την σχέση ουσιαστικά τελειώσαμε. Πραγματικά, αν δουλέψουμε, τώρα, όπως παραπάνω, με διατέμνουσες τις διαγώνιες του τετραπλεύρου, τότε ίσο με το δεύτερο μέλος της σχέσης θα προκύψει και το . Αυτό τελειώνει την απόδειξη του πρώτου μέρους.
Για το δεύτερο μέρος, επανερχόμαστε στην
Αν η κωνική είναι κύκλος, τότε από το θεώρημα τεμνομένων χορδών έχουμε:
Με αυτές το δεύτερο μέλος της θα γίνει και η απόδειξη έγινε.
Αν, τέλος, η κωνική δεν είναι κύκλος, τότε θεωρούμε ένα προβολικό μετασχηματισμό που την στέλνει σε κύκλο. Ο μετασχηματισμός διατηρεί τις ισότητες των λόγων μας, και δίνει την απόδειξη.
Με επιφύλαξη για την πληκτρολόγηση. Ίσως ξέφυγε κάποιο γράμμα ...
Ας την δούμε, όμως, και με τον κακώς παραμελειμένο, και κατά την γνώμη μου πολύ, Μενέλαο.
Έστω το σημείο που τέμνονται οι . Το κλειδί είναι το τρίγωνο του οποίου διατέμνουσες είναι δύο από τις πλευρές και οι δύο διαγώνιοι του αρχικού τετραπλεύρου. Έτσι με διατέμουσες τις πλευρές έχουμε:
Και από εδώ θα πάρουμε:
Με αυτή την σχέση ουσιαστικά τελειώσαμε. Πραγματικά, αν δουλέψουμε, τώρα, όπως παραπάνω, με διατέμνουσες τις διαγώνιες του τετραπλεύρου, τότε ίσο με το δεύτερο μέλος της σχέσης θα προκύψει και το . Αυτό τελειώνει την απόδειξη του πρώτου μέρους.
Για το δεύτερο μέρος, επανερχόμαστε στην
Αν η κωνική είναι κύκλος, τότε από το θεώρημα τεμνομένων χορδών έχουμε:
Με αυτές το δεύτερο μέλος της θα γίνει και η απόδειξη έγινε.
Αν, τέλος, η κωνική δεν είναι κύκλος, τότε θεωρούμε ένα προβολικό μετασχηματισμό που την στέλνει σε κύκλο. Ο μετασχηματισμός διατηρεί τις ισότητες των λόγων μας, και δίνει την απόδειξη.
Με επιφύλαξη για την πληκτρολόγηση. Ίσως ξέφυγε κάποιο γράμμα ...
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες