Γενίκευση Μενελάου
Συντονιστής: polysot
Γενίκευση Μενελάου
Ευθεία τέμνει τις πλευρές τετραπλεύρου κατά σειρά στα σημεία . Να αποδειχτεί ότι:
Ισχύει το αντίστροφο;
Αποδείξεις, για την ειδική περίπτωση, που η ευθεία διέρχεται από ένα σημείο τομής απέναντι πλευρών, μπορώ να πω, ότι είδα στον σύνδεσμο
viewtopic.php?f=178&t=63334
Ισχύει το αντίστροφο;
Αποδείξεις, για την ειδική περίπτωση, που η ευθεία διέρχεται από ένα σημείο τομής απέναντι πλευρών, μπορώ να πω, ότι είδα στον σύνδεσμο
viewtopic.php?f=178&t=63334
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Γενίκευση Μενελάου
Έστω ότι η διαγώνιος τέμνει την ευθεία στο . Κάνουμε Μενέλαο σε καθένα από τα τρίγωνα με διατέμνουσα την εν λόγω ευθεία. Είναι τότε
Πολλαπλασιάζουμε τώρα κατά μέλη.
Ναι, ισχύει το αντίστροφο με την έννοια αν, π.χ., τα είναι συνευθειακά και το ικανοποιεί την παραπάνω ισότητα, τότε και αυτό θα βρίσκεται στην ίδια ευθεία: Παίρνουμε το σημείο που η ευθεία τέμνει την . Από το ευθύ και με σύγκριση είναι . Άρα από την μοναδικότητα του λόγου.
-
- Δημοσιεύσεις: 32
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm
Re: Γενίκευση Μενελάου
Αν Κ είναι το σημείο τομής των AB και CD τότε
(1) Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KBC με διατέμνουσα την EZH παίρνουμε
(2) Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KAD με διατέμνουσα την EHF παίρνουμε
από τις οποίες με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη .
Για το αντίστροφο αν τρία σημεία είναι συνευθειακά και ικανοποιούν τη βασική ισότητα τότε και το τέταρτο θα ανήκει στην ίδια ευθεία .
Εν γένει δεν ισχύει το αντίστροφο . Πράγματι αν πάρουμε
και τότε
(1)' Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KBC με διατέμνουσα την EZ'H παίρνουμε
(2)' Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KAD με διατέμνουσα την EH'F παίρνουμε
από τις οποίες με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι
.
Έτσι θα μπορούσε για παράδειγμα να είναι
και και σχετικά έχουμε το
(1) Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KBC με διατέμνουσα την EZH παίρνουμε
(2) Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KAD με διατέμνουσα την EHF παίρνουμε
από τις οποίες με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη .
Για το αντίστροφο αν τρία σημεία είναι συνευθειακά και ικανοποιούν τη βασική ισότητα τότε και το τέταρτο θα ανήκει στην ίδια ευθεία .
Εν γένει δεν ισχύει το αντίστροφο . Πράγματι αν πάρουμε
και τότε
(1)' Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KBC με διατέμνουσα την EZ'H παίρνουμε
(2)' Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KAD με διατέμνουσα την EH'F παίρνουμε
από τις οποίες με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι
.
Έτσι θα μπορούσε για παράδειγμα να είναι
και και σχετικά έχουμε το
- Συνημμένα
-
- Αντίστροφο θεωρήματος Μενελάου για τετράπλευρο αντιπαράδειγμα.ggb
- (19.82 KiB) Μεταφορτώθηκε 59 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες