Απόσταση σημείων επαφής

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9811
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απόσταση σημείων επαφής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 03, 2017 1:55 pm

Απόσταση  σημείων  επαφής.png
Απόσταση σημείων επαφής.png (13.18 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές
Οι κύκλοι (O,3) και (K,4) εφάπτονται εξωτερικά . Σε τυχαίο σημείο P του (O)

φέρουμε εφαπτομένη ( την PS ) . Σχεδιάστε κάθετη σ'αυτήν ( την SQ ) , η οποία να

εφάπτεται του (K) , χωρίς να τέμνει τον (O) . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του PQ .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5865
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απόσταση σημείων επαφής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 03, 2017 6:27 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 03, 2017 1:55 pm
Απόσταση σημείων επαφής.pngΟι κύκλοι (O,3) και (K,4) εφάπτονται εξωτερικά . Σε τυχαίο σημείο P του (O)

φέρουμε εφαπτομένη ( την PS ) . Σχεδιάστε κάθετη σ'αυτήν ( την SQ ) , η οποία να

εφάπτεται του (K) , χωρίς να τέμνει τον (O) . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του PQ .
Απόσταση σημείων επαφής_1.png
Απόσταση σημείων επαφής_1.png (31.27 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές
α) Κατασκευή απλή ( φαίνεται στο σχήμα)

β) Επειδή EZ \leqslant OK η μεγίστη τιμή του PQ επιτυγχάνεται όταν PQ//OK .

Τότε \boxed{m = d = \frac{{12}}{5}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P{Q_{\max }} = 12}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6963
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απόσταση σημείων επαφής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 03, 2017 6:56 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 03, 2017 1:55 pm
Απόσταση σημείων επαφής.pngΟι κύκλοι (O,3) και (K,4) εφάπτονται εξωτερικά . Σε τυχαίο σημείο P του (O)

φέρουμε εφαπτομένη ( την PS ) . Σχεδιάστε κάθετη σ'αυτήν ( την SQ ) , η οποία να

εφάπτεται του (K) , χωρίς να τέμνει τον (O) . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του PQ .

Απόσταση σημείων επαφής.png
Απόσταση σημείων επαφής.png (23.98 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές
Κατασκευή: Έστω P σημείο του κύκλου (O). Από το K φέρνω κάθετη στην PO που την τέμνει στο T και τον κύκλο

(K) στο Q ώστε τα P, Q να βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της OK. Οι εφαπτόμενες των κύκλων (O), (K) στα P, Q

αντίστοιχα τέμνονται στο ζητούμενο σημείο S. Η απόδειξη είναι απλή λόγω του ορθογωνίου PTQS (έχει από κατασκευής

τρεις ορθές γωνίες).


Έστω M το μέσο του OK. Είναι: \displaystyle P{Q^2} = S{P^2} + S{Q^2} = S{O^2} + S{K^2} - 25 = 2S{M^2} + \frac{{49}}{2} - 25 \Leftrightarrow

\boxed{P{Q^2} = 2S{M^2} - \frac{1}{2}} (1)

Αλλά, \displaystyle PQ = ST \le SM + MT \Leftrightarrow PQ \le SM + \frac{7}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} 4S{M^2} - 28SM - 51 \le 0 \Leftrightarrow \boxed{SM\le \frac{17}{2}}


Άρα, \boxed{ P{Q_{max}} = 12}, όταν τα σημεία S, M, T είναι συνευθειακά, δηλαδή όταν PQ||OK


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1355
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Απόσταση σημείων επαφής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Δευ Δεκ 04, 2017 11:48 pm

Στο σχήμα του Doloros ονομάζουμε OT = x , TK = y.
Επειδή το τρίγωνο OKT είναι ορθογώνιο ισχύει x^2 + y^2 = 49, (1).
Επειδή το τρίγωνο PQT είναι ορθογώνιο ισχύει (3+x)^2 + (4+y)^2 = PQ^2 (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι
PQ^2 = 6x + 8y + 74, (3)

Όμως,  y = \sqrt{49-x^{2}}. (4).
Άρα, η (3) λόγω της (4) γράφεται:

PQ^2 = 6x + 8\sqrt{49-x^{2}} + 74, (5).

Με τη χρήση των θεωρημάτων του Διαφορικού Λογισμού βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή του PQ^2 είναι για x = 21/5.
Τότε, λόγω της (1) έχουμε y = 28/5.
Συνεπώς, η μέγιστη τιμή του PQ^2 = 144,
που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του PQ = 12.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1355
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Απόσταση σημείων επαφής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Δευ Δεκ 04, 2017 11:54 pm

Με την ευκαιρία, δεν μπορώ να μην εκφράσω τον θαυμασμό μου για τη λύση του Doloros.
Είναι ακριβώς ο αρχαιοελληνικός τρόπος απόδειξης και εύρεσης των μεγίστων - ελαχίστων,
πριν την εμφάνιση του Διαφορικού Λογισμού.
τελευταία επεξεργασία από Ανδρέας Πούλος σε Τρί Δεκ 05, 2017 2:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6090
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Απόσταση σημείων επαφής

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Δεκ 05, 2017 12:08 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Δευ Δεκ 04, 2017 11:48 pm

Άρα, η (3) λόγω της (4) γράφεται:

PQ^2 = 6x + 8\sqrt{49-x^{2}} + 74, (5).

Με τη χρήση των θεωρημάτων του Διαφορικού Λογισμού βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή του PQ^2 είναι για x = 21/5.
Και με παραδoσιακή χρήση της Cauchy-Schwarz:

\displaystyle{6x + 8\sqrt{49-x^{2}} + 74\leq \sqrt{6^2+8^2}\sqrt{x^2 +49-x^2}+74=144}

με την ισότητα αν, και μόνο αν

\displaystyle{6\sqrt{49-x^2}=8x\iff x=\frac{21}{5}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης