Απόσταση σημείων επαφής
Συντονιστής: polysot
Απόσταση σημείων επαφής
φέρουμε εφαπτομένη ( την ) . Σχεδιάστε κάθετη σ'αυτήν ( την ) , η οποία να
εφάπτεται του , χωρίς να τέμνει τον . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του .
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Απόσταση σημείων επαφής
Κατασκευή: Έστω σημείο του κύκλου Από το φέρνω κάθετη στην που την τέμνει στο και τον κύκλο
στο ώστε τα να βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της Οι εφαπτόμενες των κύκλων στα
αντίστοιχα τέμνονται στο ζητούμενο σημείο Η απόδειξη είναι απλή λόγω του ορθογωνίου (έχει από κατασκευής
τρεις ορθές γωνίες).
Έστω το μέσο του Είναι:
Αλλά,
Άρα, όταν τα σημεία είναι συνευθειακά, δηλαδή όταν
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Απόσταση σημείων επαφής
Στο σχήμα του Doloros ονομάζουμε , .
Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισχύει , (1).
Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισχύει (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι
, (3)
Όμως, . (4).
Άρα, η (3) λόγω της (4) γράφεται:
, (5).
Με τη χρήση των θεωρημάτων του Διαφορικού Λογισμού βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή του είναι για .
Τότε, λόγω της (1) έχουμε .
Συνεπώς, η μέγιστη τιμή του ,
που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του .
Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισχύει , (1).
Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισχύει (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι
, (3)
Όμως, . (4).
Άρα, η (3) λόγω της (4) γράφεται:
, (5).
Με τη χρήση των θεωρημάτων του Διαφορικού Λογισμού βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή του είναι για .
Τότε, λόγω της (1) έχουμε .
Συνεπώς, η μέγιστη τιμή του ,
που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του .
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Απόσταση σημείων επαφής
Με την ευκαιρία, δεν μπορώ να μην εκφράσω τον θαυμασμό μου για τη λύση του Doloros.
Είναι ακριβώς ο αρχαιοελληνικός τρόπος απόδειξης και εύρεσης των μεγίστων - ελαχίστων,
πριν την εμφάνιση του Διαφορικού Λογισμού.
Είναι ακριβώς ο αρχαιοελληνικός τρόπος απόδειξης και εύρεσης των μεγίστων - ελαχίστων,
πριν την εμφάνιση του Διαφορικού Λογισμού.
τελευταία επεξεργασία από Ανδρέας Πούλος σε Τρί Δεκ 05, 2017 2:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Απόσταση σημείων επαφής
Και με παραδoσιακή χρήση της Cauchy-Schwarz:Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑Δευ Δεκ 04, 2017 11:48 pm
Άρα, η (3) λόγω της (4) γράφεται:
, (5).
Με τη χρήση των θεωρημάτων του Διαφορικού Λογισμού βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή του είναι για .
με την ισότητα αν, και μόνο αν
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες