ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

[rek2]

Ο Leo Giugiuc κοινοποίησε τη φωτογραφία του χρήστη Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.

http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ ... tras.shtml

Happy New Year !
Here is the Koutras theorem (a Greek mathematician),along three proofs .
The result is amazing .
The article is due to the professor Alexander Bogomolny .

Αυτά είναι καλά νέα!

Στάθη, συγχαρητήρια!

[george visvikis]

Συγχαρητήρια Στάθη! Πάντα τέτοια!

[S.E.Louridas]

Αναμενόμενο για τον ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ Κούτρα Στάθη, ήταν θέμα χρόνου. Από ότι έμαθα συνδυάστηκε άριστα με τον ερχομό του νεώτερου μέλους της οικογένειας. Εύχομαι λοιπόν στον Στάθη συνέχιση στην προσφορά με Υγεία σε αυτόν και τους Ανθρώπους του.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

ΠΟΛΛΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ , στον Άριστο Γεωμέτρη ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ, που είμαι σίγουρος ότι έχει πολλά ακόμα να μας δώσει.

[Doloros]

Στάθη Χρόνια πολλά και πάλι. Συγχαρητήρια και εις ανώτερα .


Νίκος

[cretanman]

Μπράβο Στάθη!! Χαίρομαι ιδιαίτερα για την αναγνώρισή σου αυτή!

Αλέξανδρος

[Mihalis_Lambrou]

Πολύ όμορφο το αποτέλεσμα.

Οι αποδείξεις που δίνει το cut-the-knot είναι πολύ πολύπλοκες. Δίνω μία απλή.

Ευθύ, Σχ.1 Από τα όμοια κίτρινα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε Αντίστοιχα από τα πράσινα είναι Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη είναι Για παρόμοιo λόγο Άρα

όπως θέλαμε.

Αντίστροφα, Σχ.2 Φέρνουμε από το την κάθετο στην . Από την υπόθεση και το ευθύ είναι

οπότε και άρα τα συμπίπτουν. Και λοιπά.

[KARKAR]

Στάθη , συγχαρητήρια Σ' έναν τέτοιο σπουδαίο εραστή της Ευκλείδειας Γεωμετρίας , ταιριάζει

απόλυτα αυτή η τιμή . Μάλιστα το θεώρημα έχει ποικίλες εφαρμογές , οπότε θα είναι πάντα επίκαιρο ....

[S.E.Louridas]

Ας μου επιτραπεί και εμένα μία αποδεικτική προσέγγιση.
Ευθύ:
Αν συμβαίνουν τα του σχήματος, τότε αρκεί Τα τρίγωνα και είναι ίσα, οπότε αν παίρνουμε
Αντίστροφο:
Θεωρούμε , όπως βλέπουμε στο σχήμα και από το θεωρούμε κάθετη στην που τέμνει την στο Τότε άμεσα παίρνουμε την ισότητα των τριγώνων και , άρα και το ζητούμενο.

[KDORTSI]

Στάθη, συγχαρητήρια! Χαίρομαι για την αναγνώριση αυτή και
εύχομαι να είσαι πάντα ακμαίος στο νού και στο σώμα και να
προσφέρεις σε όλους μας τους καρπούς των προσπαθειών σου.

Με εκτίμηση στο πρόσωπό σου, σου εύχομαι
Καλή χρονιά.

Κώστας Δόρτσιος
Γρεβενά.

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Πολύ μεγάλη διάκριση την οποία αξίζει ο Στάθης...
Μέσα στο μυαλό του έχει τις λύσεις χιλιάδων θεμάτων...
Και όλα αυτά χάρη στο mathematica...
Στάθη μου σε ευχαριστούμε για όσα μας έδωσες τα χρόνια που είσαι μέλος του forum...
Ήταν όλα πολύτιμα και όμορφα!!!
Να μας είσαι πάντα καλά για να μας δίνεις τις ιδέες σου , θέματα και λύσεις.

[Andreas Panteris]

Θερμά συγχαρητήρια Στάθη.

[vittasko]

Καλή χρονιά σε όλους με υγεία. Πράγματι, καλά νέα από την αλλοδαπή.

Ο Μιχάλης πιο πάνω, μας χάρισε μία όμορφη απόδειξη για ένα όμορφο αποτέλεσμα δεν βλάπτεται η γενικότητα, επειδή η ευθεία περνάει από το σημείο , πρόσθετο κριτήριο καθετότητας από αυτά που υπάρχουν στην ελληνική βιβλιογραφία που έχω υπόψη μου, αλλά απ' ότι φαίνεται όχι ευρέως γνωστό και έξω, αν κρίνουμε από την δημοσίευση του Alexander Bogomolny στο Cut The Knot ( ... curious criterion for perpendicularity of two lines ).

Ο Στάθης σκαρφίστηκε αυτό το κριτήριο καθετότητας και το ανέδειξε ως θεώρημα, λύνοντας αρκετά προβλήματα εδώ στο , δύσκολα κάποια από αυτά, ως απλές εφαρμογές του και αξίζει να πούμε ότι η Ιστορία αυτού του θεωρήματος ξεκινά από Εδώ, όπου εμφανίζεται για πρωτη φορά στο φόρουμ και για πρώτη φορά Εδώ αναφέρεται ως Θεώρημα Κούτρα.

Μεγάλη τιμή να είσαι ο νονός ενός θεωρήματος του οποίου ο πατέρας είναι αδελφικός σου φίλος και έχω πει με άλλη ευκαιρία, ότι ο Στάθης ως μέλος της Dream Team Γεωμετρίας εδώ στο , έχει πολλά να δώσει ακόμα. Του εύχομαι ολόψυχα να είναι γερός και παραγωγικός σε νέες ιδέες στην Γεωμετρία.

Με αγάπη και σεβασμό, Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Με την ευκαιρία αυτή θέλω να συγχαρώ τον Παναγιώτη Χρονόπουλο, που με δική του πρωτοβουλία γνωστοποιήθηκε σε ξένους αναγνώστες αυτό το κριτήριο καθετότητας και γίνεται ευρύτερα γνωστό ως Θεώρημα Κούτρα, κάτι που μας τιμά όλους.

[taratoris]

Συγχαρητήρια στον κύριο Κούτρα!

Παραθέτω μία ακόμη λύση.

Έστω οτι κάθετη με την . Έστω τα σημεία τομής της με τις αντίστοιχα.

Τότε και λόγω παραλληλίας.

Συνεπώς (1)

Απο εγγράψιμα έχουμε και . Άρα η (1) γίνεται

Aπο θεώρημα Μενελάου στο με τέμνουσα έχουμε άρα που ολοκληρώνει την απόδειξη.

[Μιχάλης Νάννος]

Καλημέρα και καλή χρονιά σε όλους!

Φίλε και μέγιστε Γεωμέτρη Στάθη, απλά

και στον Τάκη

[fmak65]

Συγχαρητήρια και από μένα στον Στάθη για το θεώρημα του. Αναμενόμενο για άτομα που ασχολούνται με πιο προχωρημένα θέματα. Συγχαρητήρια και για το νέο μέλος της οικογένειας, εύχομαι κυρίως υγεία και να πω ότι μου έλειψε το τετράδιο που λύναμε ασκήσεις μετά από έξοδο για κρασάκι.

[Tolaso J Kos]

[m.pαpαgrigorakis]

Στάθη θερμά συγχαρητήρια!

[apotin]

Συγχαρητήρια, Στάθη

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Στάθη! Καλή Χρονιά και πάντα τέτοια!
Μας κάνεις περήφανους!