Πάππος;;

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1878
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Πάππος;;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Απρ 11, 2020 11:31 pm

Πλευρές AB, \Delta \Gamma του τραπεζίου A\Delta \Gamma B τέμνονται στο Ο

Το I είναι τυχαίο σημείο της B\Gamma και το E της OI.

Οι AE, I\Delta τέμνονται στο Z και η BZ τέμνει την \Delta \Gamma στο Η

Να αποδειχτεί ότι η EH είναι παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου.
11.png
11.png (33.99 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 736
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Πάππος;;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 11, 2020 11:40 pm

rek2 έγραψε:
Σάβ Απρ 11, 2020 11:31 pm
Πλευρές AB, \Delta \Gamma του τραπεζίου A\Delta \Gamma B τέμνονται στο Ο

Το I είναι τυχαίο σημείο της B\Gamma και το E της OI.

Οι AE, I\Delta τέμνονται στο Z και η BZ τέμνει την \Delta \Gamma στο Η

Να αποδειχτεί ότι η EH είναι παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου.

11.png
Ναι είναι ο Πάππος για τις τα \rm (O,H,\Delta),(Z,A,E) γιατί από αυτόν προκύπτει πως τα \rm OA\cap HZ\equiv B,HE\cap \Delta E,OE\cap \Delta Z\equiv I είναι συνευθειακά δηλαδή ότι οι \rm B\Gamma,EH,A\Delta συντρέχουν .Αφού το κοινό σημείο των \rm A\Delta,B\Gamma είναι στο άπειρο το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1878
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Πάππος;;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Απρ 12, 2020 10:20 am

Σωστός ο Πρόδρομος!

Ας δούμε και την επόμενη, αρκετά γνωστή εδώ, ώστε να βοηθήσουμε τον φίλο μας στον σύνδεσμο: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=40&t=66700
14.png
14.png (28.95 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές


miltosk
Δημοσιεύσεις: 68
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Πάππος;;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Κυρ Απρ 12, 2020 9:59 pm

rek2 έγραψε:
Κυρ Απρ 12, 2020 10:20 am
Σωστός ο Πρόδρομος!

Ας δούμε και την επόμενη, αρκετά γνωστή εδώ, ώστε να βοηθήσουμε τον φίλο μας στον σύνδεσμο: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=40&t=66700

14.png
Για να προσπαθήσω να δω αν το κατάλαβα (έχω δει λύση αλλά δεν είμαι σίγουρος ότι την κατάλαβα).
Έστω P_\infty το σημείο τομής των AB,CD στο άπειρο και Q_\infty το σημείο τομής των AD,BC στο άπειρο.
Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πάππου για τις τριάδες (K,L,Q_\infty ) και (M,N,P_\infty ) έχω O το σημείο τομής των KM,NL, B το σημείο τομής των Q_\infty N,P_\infty K και D το σημείο τομής των Q_\infty M,P_\infty L και καταλήγω στο D, B, O συνευθειακά που είναι και το ζητούμενο.
Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον. Πρέπει να επισημάνω ότι ο Πρόδρομος με βοήθησε με προσωπικό μήνυμα εδώ οπότε τον ευχαριστώ και δημόσια.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1878
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Πάππος;;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Απρ 13, 2020 12:25 am

miltosk έγραψε:
Κυρ Απρ 12, 2020 9:59 pm
rek2 έγραψε:
Κυρ Απρ 12, 2020 10:20 am
Σωστός ο Πρόδρομος!

Ας δούμε και την επόμενη, αρκετά γνωστή εδώ, ώστε να βοηθήσουμε τον φίλο μας στον σύνδεσμο: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=40&t=66700

14.png
Για να προσπαθήσω να δω αν το κατάλαβα (έχω δει λύση αλλά δεν είμαι σίγουρος ότι την κατάλαβα).
Έστω P_\infty το σημείο τομής των AB,CD στο άπειρο και Q_\infty το σημείο τομής των AD,BC στο άπειρο.
Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πάππου για τις τριάδες (K,L,Q_\infty ) και (M,N,P_\infty ) έχω O το σημείο τομής των KM,NL, B το σημείο τομής των Q_\infty N,P_\infty K και D το σημείο τομής των Q_\infty M,P_\infty L και καταλήγω στο D, B, O συνευθειακά που είναι και το ζητούμενο.
Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον. Πρέπει να επισημάνω ότι ο Πρόδρομος με βοήθησε με προσωπικό μήνυμα εδώ οπότε τον ευχαριστώ και δημόσια.
Χαρά μας, αν βοηθήσαμε!


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 736
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Πάππος;;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 25, 2020 7:12 pm

rek2 έγραψε:
Σάβ Απρ 11, 2020 11:31 pm
Πλευρές AB, \Delta \Gamma του τραπεζίου A\Delta \Gamma B τέμνονται στο Ο

Το I είναι τυχαίο σημείο της B\Gamma και το E της OI.

Οι AE, I\Delta τέμνονται στο Z και η BZ τέμνει την \Delta \Gamma στο Η

Να αποδειχτεί ότι η EH είναι παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου.

11.png
Μία ακόμη λύση για αυτό,χωρίς Πάππο.
Έστω \rm p το επίπεδο του τραπεζίου του σχήματος.Με μία κεντρική προβολή (στο σχήμα η κεντρική προβολή έχει κέντρο O ,δεν έχει σχέση με την τομή των AB,DC)όπως την κατασκευή στο σχήμα στο σχήμα μπορώ να επεικονίσω σε τετράγωνο \rm A'B'C'D' σε επίπεδο \rm p' το \rm ABCD.
313.PNG
313.PNG (32.09 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές
Τα \rm I',Z',E' είναι οι εικόνες των \rm I,Z,E αντίστοιχα.Αν \rm X\equiv B'Z'\cap C'D',Q\equiv A'E'\cap B'C' αρκεί \rm \dfrac{E'X}{B'Q}=\dfrac{E'Z'}{Z'Q}\Leftrightarrow \dfrac{I'C'}{B'Q}=\dfrac{I'E'\sin \angle D'I'E'}{I'Q\sin \angle D'I'C'}=\dfrac{I'E'\cdot I'C'}{I'Q\cdot B'C'} το οποίο προκύπτει από την ομοιότητα των \rm A'B'Q,I'E'Q
314.PNG
314.PNG (10.83 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης