Μοναδιαία και κάθετα

#1

Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα : $\overrightarrow u = \left( {a,b} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow v = \left( {x,y} \right)$

Δείξετε ότι : |ay - bx| = 1

STOPJOHN · #2

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 14, 2020 2:50 pm
Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα : $\overrightarrow u = \left( {a,b} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow v = \left( {x,y} \right)$

Δείξετε ότι :

Απο την υποθεση του προβλήματος ισχύουν

$a^{2}+b^{2}=1,(1), x^{2}+y^{2}=1,(2), ax+by=0,(3),$

Πολλαπλασιάζουμε τις

$(1),(2)\Rightarrow a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=1,(*), (3)\Rightarrow a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=-2abxy,(**), (*),(**)\Rightarrow a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-2abxy=1\Leftrightarrow (ay-bx)^{2}=1\Leftrightarrow \left | ay-bx \right |=1$

#3

Άμεση εφαρμογή της ταυτότητας: $\displaystyle ({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2}) - {(ax + by)^2} = {(ay - bx)^2}$

#4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 14, 2020 2:50 pm
Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα : $\overrightarrow u = \left( {a,b} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow v = \left( {x,y} \right)$

Δείξετε ότι :

: Μοναδιαία και κάθετα.png (20.84 KiB) Προβλήθηκε 1795 φορές

Ας είναι $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow u = \left( {\cos \theta ,\sin \theta } \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {ON} = \overrightarrow v = \left( { - \sin \theta ,\cos \theta } \right)\,$ , τότε :

$|ay - bx|\, = \,| - {\sin ^2}\theta - {\cos ^2}\theta |\, = \,| - 1|\, = 1$

#5

Καλησπέρα σε όλους.

Εύκολα,(*) έχουμε ότι a = -y, b = x

οπότε $\displaystyle \left| {ay - bx} \right| = \left| { - {y^2} - {x^2}} \right| = 1$

Γεωμετρική ερμηνεία: (Βλέπετε και στο συνημμένο αρχείο Geogebra).

Έστω $\displaystyle \vec k = \left( {y,\;x} \right)$ το συμμετρικό διάνυσμα του $\displaystyle \vec v = \left( {x,y} \right)$ ως προς y=x

. Οπότε το $\displaystyle \vec k = \left( {y,\;x} \right)$ είναι συμμετρικό του $\displaystyle \vec u = \left( {a,b} \right)$ ως προς τον κατακόρυφο άξονα και το $\displaystyle \vec m = \left( {y, - x} \right)$ είναι αντίθετο του $\displaystyle \vec u = \left( {a,b} \right)$ .

(*) Γράφω "εύκολα" κι όχι "προφανώς", αν και το έχει αποδείξει ο Νίκος παραπάνω με πολικές συντεταγμένες. Θυμάμαι παλαιότερα ήταν standar θέμα στην ύλη των Διανυσμάτων. Αποδεικνύεται και δίχως πολικές.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 14, 2020 2:50 pm
Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα : $\overrightarrow u = \left( {a,b} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow v = \left( {x,y} \right)$

Δείξετε ότι :

Με $\vec{w}=(-y,x) \Rightarrow \vec{w} . \vec{v}=0 \Rightarrow \vec{w} \parallel \vec{u} \Rightarrow \vec{w} . \vec{u} = \pm |\vec{w} | |\vec{u} | \Rightarrow ay-bx= \pm 1 \Rightarrow |ay-bx|=1$

angvl · #7

'Εστω $\displaystyle \vec{OA} = (a,b)$ και $\displaystyle \vec{OB} = (x,y)$ .

Τότε $\displaystyle (OAB) = \frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}| = \frac{1}{2}$ και $(OAB) = \frac{1}{2} |det(\vec{OA},\vec{OB})| = \frac{1}{2}|ay-bx|$ .

Αρα $\displaystyle |ay-bx| = 1$

Μοναδιαία και κάθετα

Μοναδιαία και κάθετα

Re: Μοναδιαία και κάθετα

Re: Μοναδιαία και κάθετα

Re: Μοναδιαία και κάθετα

Re: Μοναδιαία και κάθετα

Re: Μοναδιαία και κάθετα

Re: Μοναδιαία και κάθετα

Μέλη σε σύνδεση