Μοναδιαία και κάθετα

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6873
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Μοναδιαία και κάθετα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 14, 2020 2:50 pm

Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα : \overrightarrow u  = \left( {a,b} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow v  = \left( {x,y} \right)

Δείξετε ότι : |ay - bx| = 1



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1841
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Μοναδιαία και κάθετα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Ιαν 14, 2020 3:23 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Ιαν 14, 2020 2:50 pm
Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα : \overrightarrow u  = \left( {a,b} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow v  = \left( {x,y} \right)

Δείξετε ότι : |ay - bx| = 1
Απο την υποθεση του προβλήματος ισχύουν

a^{2}+b^{2}=1,(1), x^{2}+y^{2}=1,(2), ax+by=0,(3),


Πολλαπλασιάζουμε τις

(1),(2)\Rightarrow a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=1,(*), 

(3)\Rightarrow a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=-2abxy,(**),

 (*),(**)\Rightarrow a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-2abxy=1\Leftrightarrow (ay-bx)^{2}=1\Leftrightarrow \left | ay-bx \right |=1


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μοναδιαία και κάθετα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 14, 2020 4:30 pm

Άμεση εφαρμογή της ταυτότητας: \displaystyle ({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2}) - {(ax + by)^2} = {(ay - bx)^2}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6873
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μοναδιαία και κάθετα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 15, 2020 6:00 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Ιαν 14, 2020 2:50 pm
Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα : \overrightarrow u  = \left( {a,b} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow v  = \left( {x,y} \right)

Δείξετε ότι : |ay - bx| = 1
Μοναδιαία και κάθετα.png
Μοναδιαία και κάθετα.png (20.84 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές
Ας είναι \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow u  = \left( {\cos \theta ,\sin \theta } \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow v  = \left( { - \sin \theta ,\cos \theta } \right)\,, τότε :

|ay - bx|\, = \,| - {\sin ^2}\theta  - {\cos ^2}\theta |\, = \,| - 1|\, = 1


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4485
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μοναδιαία και κάθετα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιαν 15, 2020 8:01 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Εύκολα,(*) έχουμε ότι a = -y, b = x οπότε  \displaystyle \left| {ay - bx} \right| = \left| { - {y^2} - {x^2}} \right| = 1

Γεωμετρική ερμηνεία: (Βλέπετε και στο συνημμένο αρχείο Geogebra).

Έστω  \displaystyle \vec k = \left( {y,\;x} \right) το συμμετρικό διάνυσμα του  \displaystyle \vec v = \left( {x,y} \right) ως προς y=x. Οπότε το  \displaystyle \vec k = \left( {y,\;x} \right) είναι συμμετρικό του  \displaystyle \vec u = \left( {a,b} \right) ως προς τον κατακόρυφο άξονα και το  \displaystyle \vec m = \left( {y, - x} \right) είναι αντίθετο του  \displaystyle \vec u = \left( {a,b} \right) .

(*) Γράφω "εύκολα" κι όχι "προφανώς", αν και το έχει αποδείξει ο Νίκος παραπάνω με πολικές συντεταγμένες. Θυμάμαι παλαιότερα ήταν standar θέμα στην ύλη των Διανυσμάτων. Αποδεικνύεται και δίχως πολικές.
Συνημμένα
15-01-2020 Μοναδιαία και κάθετα.ggb
(26.65 KiB) Μεταφορτώθηκε 3 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1719
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μοναδιαία και κάθετα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιαν 15, 2020 10:11 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Ιαν 14, 2020 2:50 pm
Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα : \overrightarrow u  = \left( {a,b} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow v  = \left( {x,y} \right)

Δείξετε ότι : |ay - bx| = 1

Με  \vec{w}=(-y,x) \Rightarrow \vec{w} .  \vec{v}=0 \Rightarrow \vec{w} \parallel  \vec{u} \Rightarrow \vec{w} .  \vec{u} = \pm |\vec{w} |  |\vec{u}  |  \Rightarrow ay-bx= \pm 1 \Rightarrow |ay-bx|=1


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Μοναδιαία και κάθετα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Πέμ Ιαν 16, 2020 11:01 pm

'Εστω \displaystyle \vec{OA} = (a,b) και \displaystyle \vec{OB} = (x,y) .

Τότε \displaystyle (OAB) = \frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}| = \frac{1}{2} και (OAB) = \frac{1}{2} |det(\vec{OA},\vec{OB})| = \frac{1}{2}|ay-bx|.

Αρα \displaystyle |ay-bx| = 1


Καλό Καλοκαίρι!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Τράπεζα Θεμάτων, Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού Β”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης