Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

Συντονιστής: stranton

Απάντηση
Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Παρ Δεκ 16, 2022 7:49 pm

Καλησπέρα! :D Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC με \widehat{BAC}=90^\circ και σημείο D επί της πλευράς BC, ώστε CD=AB. Αν \widehat{ABD}=2\cdot \widehat{BAD}, να αποδειχθεί ότι AB=AC.

Έχω απλή γεωμετρική λύση! :) Όποιος γράψει αυτή που έχω σκεφτεί, κερδίζει!! ;)
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Σάβ Δεκ 17, 2022 8:34 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Λέξεις Κλειδιά:
ορθογώνιο-τρίγωνο
ίσα-τμήματα
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Δεκ 16, 2022 11:06 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 16, 2022 7:49 pm
 Καλησπέρα! :D Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC με \widehat{BAC}=90^\circ και σημείο D επί της πλευράς BC, ώστε CD=3AB. Αν \widehat{ABD}=2\cdot \widehat{BAD}, να αποδειχθεί ότι AB=AC.

Έχω απλή γεωμετρική λύση! :) Όποιος γράψει αυτή που έχω σκεφτεί, κερδίζει!! ;)
Νομίζω Κώστα ότι δεν έχεις λύση για την παραπάνω άσκηση (όπως είναι γραμμένη η εκφώνηση) ,(ούτε απλή ούτε δύσκολη) γιατί η άσκηση είναι Λάθος :shock:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Σάβ Δεκ 17, 2022 8:36 am

Ναι, διόρθωσα ένα τυπογραφικό, σκοτώστε με.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15034
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 17, 2022 9:48 am

ορθ και ισοσκ.png
ορθ και ισοσκ.png (5.83 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές
Πιθανόν αυτή ;
Εκ των υστέρων διεπίστωσα ότι η εκφώνηση έδινε CD=BA και όχι CD=CA ,

όπως φαίνεται στο σχήμα . Βέβαια έτσι λύθηκε μια ευκολότερη εκδοχή της άσκησης :oops:
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Κυρ Δεκ 18, 2022 6:51 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9870
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 17, 2022 10:01 am

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 16, 2022 7:49 pm
 Καλησπέρα! :D Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC με \widehat{BAC}=90^\circ και σημείο D επί της πλευράς BC, ώστε CD=AB. Αν \widehat{ABD}=2\cdot \widehat{BAD}, να αποδειχθεί ότι AB=AC.

Έχω απλή γεωμετρική λύση! :) Όποιος γράψει αυτή που έχω σκεφτεί, κερδίζει!! ;)
hendri.png
hendri.png (30.01 KiB) Προβλήθηκε 1133 φορές
\omega + \theta = 90^\circ = 2\theta + C \Rightarrow \omega = \theta + C .Αναγκαστικά τώρα \phi = \theta και έτσι , \vartriangle ABD = \vartriangle DCT.


Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2477
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Δεκ 17, 2022 4:02 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 16, 2022 7:49 pm
 Καλησπέρα! :D Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC με \widehat{BAC}=90^\circ και σημείο D επί της πλευράς BC, ώστε CD=AB. Αν \widehat{ABD}=2\cdot \widehat{BAD}, να αποδειχθεί ότι AB=AC.

Έχω απλή γεωμετρική λύση! :) Όποιος γράψει αυτή που έχω σκεφτεί, κερδίζει!! ;)
Είναι HKμεσοκάθετος της AB,,

BKM διχοτός της \hat{B} και

DT//MB

τότε για τις γωνίες είναι

\hat{ABM}=\hat{MBD}=\hat{TDC}=\theta ,\hat{DAM}= \hat{AMK}=\hat{MTD}=90-\theta ,

Οπότε

DT=AD καιτα τρίγωνα DTC,ABD

είναι ίσα και

\hat{DTC}=90+\theta =\hat{ADB}=180-3\theta \Leftrightarrow \theta =22,5,B=C=45^{0}
Συνημμένα
Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο.png
Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο.png (122.83 KiB) Προβλήθηκε 1091 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 17, 2022 8:27 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 16, 2022 7:49 pm
 Καλησπέρα! :D Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC με \widehat{BAC}=90^\circ και σημείο D επί της πλευράς BC, ώστε CD=AB. Αν \widehat{ABD}=2\cdot \widehat{BAD}, να αποδειχθεί ότι AB=AC.

Έχω απλή γεωμετρική λύση! :) Όποιος γράψει αυτή που έχω σκεφτεί, κερδίζει!! ;)
Θεωρώ σημείο F της AB ώστε DF=DB, οπότε \displaystyle D\widehat FB = 2\theta \Rightarrow FA = FD = a - c και FB=2c-a.
Ορθογώνιο και ισοσκελές.Η.png
Ορθογώνιο και ισοσκελές.Η.png (9.51 KiB) Προβλήθηκε 1064 φορές
\displaystyle DE||AC \Leftrightarrow \frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{BD}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{2c - a}}{{2c}} = \frac{{a - c}}{a} \Leftrightarrow {a^2} = 2{c^2} \Leftrightarrow \boxed{b=c}


Κορυφή
Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Σάβ Δεκ 17, 2022 9:16 pm

Ευχαριστώ για όλες τις λύσεις, αυτή που είχα κατά νου είναι του Doloros, στον οποίο ανήκει το βραβείο! :first:


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9870
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 17, 2022 9:58 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 16, 2022 7:49 pm
 Καλησπέρα! :D Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC με \widehat{BAC}=90^\circ και σημείο D επί της πλευράς BC, ώστε CD=AB. Αν \widehat{ABD}=2\cdot \widehat{BAD}, να αποδειχθεί ότι AB=AC.

Έχω απλή γεωμετρική λύση! :) Όποιος γράψει αυτή που έχω σκεφτεί, κερδίζει!! ;)
Είναι προφανές ότι το A ανήκει σε κύκλο κέντρου O και διαμέτρου BC.

Η από το B παράλληλη στην AC τέμνει το κάτω ημικύκλιο στο T και προφανώς το ABTC είναι ορθογώνιο με σημείο τομής των διαγωνίων του το O.
henri_new.png
henri_new.png (29.73 KiB) Προβλήθηκε 1024 φορές
Επειδή το \vartriangle OAB είναι ισοσκελές αναγκαστικά η AD είναι διχοτόμος της \widehat {BAT} , έστω δε E η τομή της AD με το κάτω ημικύκλιο.

Η CE θα είναι διχοτόμος της \widehat {DCT} και αφού CD = CT το τετράπλευρο CDET είναι χαρταετός .

Άμεση συνέπεια: \widehat {\omega _{}^{}} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {TOC} = 90^\circ . Έτσι το τετράπλευρο , ABTC είναι τετράγωνο .

Το σχήμα επίτηδες είναι λίγο λάθος .


Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2776
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Δεκ 21, 2022 7:03 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 16, 2022 7:49 pm
 Καλησπέρα! :D Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC με \widehat{BAC}=90^\circ και σημείο D επί της πλευράς BC, ώστε CD=AB. Αν \widehat{ABD}=2\cdot \widehat{BAD}, να αποδειχθεί ότι AB=AC.

Έχω απλή γεωμετρική λύση! :) Όποιος γράψει αυτή που έχω σκεφτεί, κερδίζει!! ;)
Έστω AN συμμετρική της AB ως προς AD.Τότε AN=DC και BM=MA άρα AM=MC και

προφανώς DNCA είναι ισοσκελές τραπέζιο

Έτσι \angle BCA=2 \theta \Rightarrow AB=AC
Ορθογώνιο-ισοσκελές.png
Ορθογώνιο-ισοσκελές.png (9.59 KiB) Προβλήθηκε 964 φορές


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9870
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 21, 2022 8:55 pm

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 21, 2022 7:03 pm
Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 16, 2022 7:49 pm
 Καλησπέρα! :D Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC με \widehat{BAC}=90^\circ και σημείο D επί της πλευράς BC, ώστε CD=AB. Αν \widehat{ABD}=2\cdot \widehat{BAD}, να αποδειχθεί ότι AB=AC.

Έχω απλή γεωμετρική λύση! :) Όποιος γράψει αυτή που έχω σκεφτεί, κερδίζει!! ;)
Έστω AN συμμετρική της AB ως προς AD.Τότε AN=DC και BM=MA άρα AM=MC και

προφανώς DNCA είναι ισοσκελές τραπέζιο

Έτσι \angle BCA=2 \theta \Rightarrow AB=AC

Ορθογώνιο-ισοσκελές.png
:coolspeak:


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3539
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μιχάλης Νάννος

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Δεκ 22, 2022 8:51 am

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 16, 2022 7:49 pm
 Καλησπέρα! :D Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABC με \widehat{BAC}=90^\circ και σημείο D επί της πλευράς BC, ώστε CD=AB. Αν \widehat{ABD}=2\cdot \widehat{BAD}, να αποδειχθεί ότι AB=AC.

Έχω απλή γεωμετρική λύση! :) Όποιος γράψει αυτή που έχω σκεφτεί, κερδίζει!! ;)
shape.png
shape.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1789
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Δεκ 23, 2022 11:33 pm

Καλό βράδυ! Ακόμη μία
23-12 Ορθογώνιο και ισοσκελές .png
23-12 Ορθογώνιο και ισοσκελές .png (78.48 KiB) Προβλήθηκε 867 φορές
Φέρω DE = \parallel AB . Το BAED είναι παραλληλόγραμμο, το τρίγωνο DEC ισοσκελές , οι δε γωνίες φαίνονται στο σχήμα .

Το τραπέζιο DAEC προκύπτει εγγράψιμο , άρα ισοσκελές οπότε και το DCZ ορθογώνιο και ισοσκελές..

Φιλικά, Γιώργος.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία Β”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες