Που λέει ο λόγος

#1

: Που λέει ο λόγος.png (7.33 KiB) Προβλήθηκε 2842 φορές

Έστω

τα μέσα των πλευρών AB, BC

αντίστοιχα, ενός τετραγώνου ABCD.

Αν οι

τέμνονται στο

να βρείτε το λόγο $\dfrac{(MSN)}{(SAD)}.$

Henri van Aubel · #2

Είναι $\widehat{SAD}=90^\circ-\widehat{BAN}=90^\circ-\widehat{ADM},$ άρα $\widehat{ASD}=90^\circ.$

Έχουμε :

$\displaystyle \left ( ADM \right )-\left ( ANM \right )=\left ( ASD \right )-\left ( SNM \right )=\frac{\left ( ABCD \right )}{4}-\frac{\left ( ABCD \right )}{8}$

$\displaystyle \frac{\left ( ASD \right )}{\left ( ADM \right )}=\left ( \frac{AD}{DM} \right )^{2}=\frac{4}{5}\Leftrightarrow \left ( ASD \right )=\frac{\left ( ABCD \right )}{5}$

Από αυτές τις δύο προκύπτει ότι:

$\displaystyle \left ( SNM \right )=\frac{3\left ( ABCD \right )}{40}$

$\displaystyle \boxed{\frac{\left ( SNM \right )}{\left ( ASD \right )}=\frac{3}{8}}$

Ιστοσελίδα · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 15, 2022 1:39 pm

Έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα, ενός τετραγώνου

Αν οι τέμνονται στο να βρείτε το λόγο $\dfrac{(MSN)}{(SAD)}.$

: shape.png (20.6 KiB) Προβλήθηκε 2771 φορές

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 15, 2022 1:39 pm
Που λέει ο λόγος.png
Έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα, ενός τετραγώνου

Αν οι τέμνονται στο να βρείτε το λόγο $\dfrac{(MSN)}{(SAD)}.$

: που πάει ο λόγος.png (11.42 KiB) Προβλήθηκε 2746 φορές

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου οπότε MB=2a

και

(λόγω παραλληλίας και μέσου) , όπου $F\equiv AN\cap DC$ και ας είναι

το σημείο τομής της εκ του

παραλλήλου στην $AB\parallel CD$ .

Τότε από την παραλληλία προκύπτει ότι $\left( SMN \right)=\left( SAE \right):\left( 1 \right)$

Για τη διάμεσο (λόγω παραλληλίας και μέσου)

του τραπεζίου MBCD

θα έχουμε:
$EN=\dfrac{MB+CD}{2}=3a$ και για τα τρίγωνα $\vartriangle ASE,\vartriangle ASD$ με κοινό ύψος από την κοινή τους κορυφή

θα έχουμε: $\dfrac{\left( SAE \right)}{\left( SAD \right)}=\dfrac{SE}{SD}\overset{EN\parallel DF}{\mathop{=}}\,\dfrac{EN}{DF}=\dfrac{3a}{8a}=\dfrac{3}{8}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{\left( SMN \right)}{\left( SAD \right)}=\dfrac{3}{8}$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 15, 2022 1:39 pm
Που λέει ο λόγος.png
Έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα, ενός τετραγώνου

Αν οι τέμνονται στο να βρείτε το λόγο $\dfrac{(MSN)}{(SAD)}.$

Η από το

παράλληλη στην

διέρχεται από τα μέσα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O$ των , $DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA$ .

Είναι προφανές ότι τα γκρίζα εμβαδά $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F'$ , καθώς και τα κίτρινα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E'$ είναι μεταξύ τους ίσα .

Ο λόγος που θέλω είναι : $\lambda = \dfrac{{2E + F}}{F} = \dfrac{{2E}}{F} + 1\,\,\left( 1 \right)$ .

Όμως αν θέσω $DT = a\,\,,\,\,TS = b\,\,,\,\,SM = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = 2k$ , ισχύουν ταυτόχρονα :

: Που λέει ο λόγος.png (14.48 KiB) Προβλήθηκε 2738 φορές

$\left\{ \begin{gathered} a - b = x \hfill \\ \dfrac{{a + b}}{x} = \dfrac{{A{D^2}}}{{A{M^2}}} = \dfrac{{4{k^2}}}{{{k^2}}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2a = 5x \hfill \\ 2b = 3x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{3}$ και άρα η $\left( 1 \right)$ δίνει: $\boxed{\lambda = \dfrac{5}{3} + 1 = \dfrac{8}{3}}$

Ο λόγος που θέλει ο Γιώργος είναι προφανώς το αντίστροφο αυτού που βρήκα .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 15, 2022 1:39 pm
Που λέει ο λόγος.png
Έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα, ενός τετραγώνου

Αν οι τέμνονται στο να βρείτε το λόγο $\dfrac{(MSN)}{(SAD)}.$

Είναι (γνωστό) $DM \bot AN$ οπότε

$\dfrac{DS}{SM}= \dfrac{DA^2}{AN^2}= \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{(ADS)}{(ADN)}= \dfrac{4}{5} \Rightarrow (ADS)= \dfrac{a^2}{5}$

Με $NP \bot NA \Rightarrow NB^2=AB.BN \Rightarrow \dfrac{a^2}{4}=a.BP \Rightarrow BP= \dfrac{a}{4} \Rightarrow MP= \dfrac{3a}{4}$

Αλλά $\dfrac{SZ}{a}= \dfrac{SM}{DM}= \dfrac{1}{5} \Rightarrow SZ= \dfrac{a}{5} \Rightarrow (SPM)=(NSM) = \dfrac{3a^2}{40}$ οπότε $\dfrac{(NSM)}{(DSA)}= \dfrac{3}{8}$

: που λέει ο λόγος.png (12.4 KiB) Προβλήθηκε 2681 φορές

Που λέει ο λόγος

Που λέει ο λόγος

Re: Που λέει ο λόγος

Re: Που λέει ο λόγος

Re: Που λέει ο λόγος

Re: Που λέει ο λόγος

Re: Που λέει ο λόγος

Μέλη σε σύνδεση