Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

Συντονιστής: stranton

STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Ιουν 02, 2015 4:27 pm

Να κατασκευασθεί τρίγωνο AB\Gamma, όταν δίνονται : Η διχοτόμος A\Delta =\delta _{a},η διάμεσος AE=\mu _{a} και ο λόγος \dfrac{AB}{A\Gamma }=\dfrac{\mu }{\nu }

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9340
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 02, 2015 5:19 pm

STOPJOHN έγραψε:Να κατασκευασθεί τρίγωνο AB\Gamma, όταν δίνονται : Η διχοτόμος A\Delta =\delta _{a},η διάμεσος AE=\mu _{a} και ο λόγος \dfrac{AB}{A\Gamma }=\dfrac{\mu }{\nu }

Γιάννης
Καλησπέρα Γιάννη.

Ανάλυση: Έστω ότι το τρίγωνο κατασκευάστηκε και \displaystyle{\frac{\gamma }{\beta } = \frac{\mu }{\nu } < 1}. Από τα σημεία B,\Gamma φέρνω κάθετες στη διχοτόμο που τέμνουν την \displaystyle{{\rm A}\Delta } στα σημεία Z, H αντίστοιχα και τις ευθείες A\Gamma, AB στα σημεία B_1, \Gamma_1 αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ABB_1, A\Gamma\Gamma_1 είναι ισοσκελή, οπότε Z, H είναι τα μέσα των BB_1, \Gamma\Gamma_1 και \displaystyle{{\rm E}{\rm Z} = {\rm E}{\rm H} = \frac{{\beta  - \gamma }}{2}}.

Επίσης, \displaystyle{\frac{{\Delta {\rm Z}}}{{\Delta {\rm H}}} = \frac{{\Delta {\rm B}}}{{\Delta \Gamma }} = \frac{\gamma }{\beta } = \frac{\mu }{\nu }} και \displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm H}}} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\Gamma _1}}} = \frac{\gamma }{\beta } = \frac{\mu }{\nu }}. Τα σημεία λοιπόν Z,H είναι συζυγή

αρμονικά των A, \Delta και από τις σχέσεις \displaystyle{\frac{2}{{{\delta _\alpha }}} = \frac{1}{{{\rm A}{\rm Z}}} + \frac{1}{{{\rm A}{\rm H}}},\frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm H}}} = \frac{\mu }{\nu }}, παίρνουμε: \boxed{{\rm A}{\rm Z} = \frac{{(\mu  + \nu ){\delta _\alpha }}}{{2\nu }},{\rm A}{\rm H} = \frac{{(\mu  + \nu ){\delta _\alpha }}}{{2\mu }}}
Κατασκευή τριγώνου 1.png
Κατασκευή τριγώνου 1.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 2586 φορές
Κατασκευή: Κατασκευάζω τμήμα \displaystyle{{\rm A}\Delta  = {\delta _\alpha }} και επί της ευθείας A\Delta θεωρώ τα σημεία Z, H, όπως υπολογίστηκαν στην Ανάλυση. Η μεσοκάθετος του Z H και ο κύκλος \displaystyle{\left( {{\rm A},{\mu _\alpha }} \right)} τέμνονται στο σημείο E. Οι κάθετες στην AH στα σημεία Z, H τέμνουν την ευθεία \Delta E στα B,\Gamma αντίστοιχα. Το AB\Gamma είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

Διερεύνηση: Για να κατασκευάζεται το τρίγωνο πρέπει ο κύκλος \displaystyle{\left( {{\rm A},{\mu _\alpha }} \right)} να τέμνει τη μεσοκάθετο του Z H. Αν d είναι η απόσταση της κορυφής A από τη μεσοκάθετο του Z H, πρέπει \displaystyle{d < {\mu _\alpha }}.

Αλλά, \displaystyle{d = \frac{1}{2}\left( {{\rm A}{\rm Z} + {\rm A}{\rm H}} \right) = \frac{{{\delta _\alpha }{{(\mu  + \nu )}^2}}}{{4\mu \nu }}}. Άρα για να έχουμε λύση πρέπει \boxed{\frac{{{\delta _\alpha }{{(\mu  + \nu )}^2}}}{{4\mu \nu }} < {\mu _\alpha }}

Στην αρχή υποθέσαμε ότι \displaystyle{\frac{\mu }{\nu } < 1}. Αν είναι \displaystyle{\frac{\mu }{\nu } > 1}, εργαζόμαστε ανάλογα. Αν όμως \displaystyle{\frac{\mu }{\nu } = 1}, τότε το τρίγωνο AB\Gamma είναι ισοσκελές (\beta=\gamma). Στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις. Όλα τα ισοσκελή τρίγωνα που έχουν κοινή διάμεσο από την κορυφή A είναι λύσεις του προβλήματος.

Καλησπερίζω και τον Σωτήρη.

edit: Άρση της απόκρυψης και λύση της άσκησης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Ιουν 02, 2015 8:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Ιουν 02, 2015 9:08 pm

STOPJOHN έγραψε:Να κατασκευασθεί τρίγωνο AB\Gamma, όταν δίνονται : Η διχοτόμος A\Delta =\delta _{a},η διάμεσος AE=\mu _{a} και ο λόγος \dfrac{AB}{A\Gamma }=\dfrac{\mu }{\nu }
Γεια και χαρά με μία άλλη άποψη και μόνο για λόγους πλουραλισμού:

Αρκεί να κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο {{\rm A}_1}{{\rm B}_1}{\Gamma _1} όμοιο με το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma , για το οποίο δίνονται (*) η πλευρά του {{\rm B}_1}{\Gamma _1}, και οι λόγοι \displaystyle{\frac{{{{\rm A}_1}{{\rm B}_1}}}{{{{\rm A}_1}{\Gamma _1}}} = \frac{\mu }{\nu }} και \displaystyle{\frac{{{{\rm A}_1}{{\rm E}_1}}}{{{{\rm A}_1}{\Delta _1}}} = \frac{{{\mu _\alpha }}}{{{\delta _\alpha }}},} όταν {\Delta _1} είναι σημείο του {{\rm B}_1}{\Gamma _1}, ώστε \displaystyle{\frac{{{\Delta _1}{{\rm B}_1}}}{{{\Delta _1}{\Gamma _1}}} = \frac{\mu }{\nu } και {{\rm E}_1}} είναι το μέσο της {{\rm B}_1}{\Gamma _1}. Όμως τότε η κορυφή {{\rm A}_1} προσδιορίζεται ως τομή δύο Απολλώνιων κύκλων.



(*) Δηλαδή παίρνουμε σαν βάση ένα ευθύγραμμο τμήμα {{\rm B}_1}{\Gamma _1} ( Το σχήμα ακολουθεί) και εργαζόμαστε όπως περιγράψαμε.
Συνημμένα
ΑΠ. Κ..png
ΑΠ. Κ..png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 2526 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7201
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 03, 2015 1:22 pm

STOPJOHN έγραψε:Να κατασκευασθεί τρίγωνο AB\Gamma, όταν δίνονται : Η διχοτόμος A\Delta =\delta _{a},η διάμεσος AE=\mu _{a} και ο λόγος \dfrac{AB}{A\Gamma }=\dfrac{\mu }{\nu }

Γιάννης
Γεια σε όλους.
Κατασκευή Σταματογιάννη_διχοτόμος διάμεσος  λόγος.png
Κατασκευή Σταματογιάννη_διχοτόμος διάμεσος λόγος.png (32.53 KiB) Προβλήθηκε 2471 φορές
Κατασκευή.

Έστω ευθύγραμμο τμήμα AM = m (μήκος διαμέσου) και A' το συμμετρικό του A ως προς το M.

Γράφουμε τον Απολλώνιο κύκλο κέντρου K για κάθε σημείο P του οποίου \dfrac{{PA}}{{PA'}} = \dfrac{\mu }{\nu } ( δεδομένος λόγος) .

Ο κύκλος αυτός τέμνει την ευθεία AA' στα σημεία E,Z ( Το E μεταξύ των A,A')

Με κέντρο το Z κι ακτίνα {R_2} = \dfrac{d}{m} \cdot MZ (d =μήκος δεδομένης διχοτόμου) γράφουμε κύκλο που τέμνει τον Απολλώνιο κύκλο στο σημείο C.

Αν B το συμμετρικό του C ως προς το M το τρίγωνο ABC είναι το ζητούμενο.

Απόδειξη.

Αν γράψουμε το κύκλο {K_3} \to (A,d) και κόψει την BC στο D, οι ευθείες AD,CE τέμνονται κάθετα στο T αφού λόγω κατασκευής \dfrac{{AD}}{{ZC}} = \dfrac{{AM}}{{MZ}}.

Θα είναι έτσι AT//ZC και άρα η AD διχοτόμος της B\widehat AC.

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7201
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 03, 2015 7:59 pm

STOPJOHN έγραψε:Να κατασκευασθεί τρίγωνο AB\Gamma, όταν δίνονται : Η διχοτόμος A\Delta =\delta _{a},η διάμεσος AE=\mu _{a} και ο λόγος \dfrac{AB}{A\Gamma }=\dfrac{\mu }{\nu }

Γιάννης

Και ένα δυναμικό αρχείο Geogebra, κατασκευής του τριγώνου με ενσωματωμένες μερικές μακροεντολές, το τελευταίο εικονίδιο δεξιά, ( Στα εργαλεία και στη διαχείριση εργαλείων υπάρχει βοήθεια για κάθε μακροεντολή).


Νίκος
Συνημμένα
κατασκευή διχοτόμος διάμεσος λόγος.ggb
(14.42 KiB) Μεταφορτώθηκε 77 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Ιουν 03, 2015 8:18 pm

Nίκο καλησπέρα δεν ανοίγει το δυναμικό αρχείο της Geogebra Βγαζει μύνημα η εφαρμογή δεν βρέθηκε

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία Β”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης