Συλλογή εφαρμοσμένων μαθηματικών

Νίκος Παπαγεωργίου · #1

Κυρίες κύριοι, με την ιδιότητα:

1. του γονιού τριών παιδιών σε σχολική ηλικία
2. του αναλυτή παραγωγικών συστημάτων (επιχειρήσεις, οργανισμοί) με σκοπό τη βελτίωση και τον περιορισμό να αποσβένεται το κόστος προτάσεων υλοποίησης εντός 5ετίας
3. του εφευρέτη (νέα συστήματα πρόωσης - θέρμανσης) και ερευνητή των εφαρμοσμένων μαθηματικών (Μαθηματικά της Μεταβολής)

προτείνω να συγγράψουμε (και να συγκεντρώσουμε λυμένες) εφαρμογές των μαθηματικών κεφαλαίων σε όσο το δυνατόν περισσότερα επιστημονικά πεδία (Οικονομία, Φυσική, Χημεία, …)

Με την πρώτη μου ιδιότητα διαπιστώνω ότι η συνάρτηση που περιγράφει τη σχέση των διδασκόμενων μαθηματικών με τις εφαρμογές τους (όχι ασκήσεων) στη χρονική διάρκεια των σχολικών ετών είναι:

μια εκθετική με ταχύτατη απόσβεση (ιδίως στο λύκειο).

Π.χ. στο κεφάλαιο των μιγαδικών συναρτήσεων του σχολικού βιβλίου δεν θα βρείτε ούτε μια πραγματική εφαρμογή (δεν εννοώ ότι δεν υπάρχουν, αλλά ότι δεν εμπεριέχονται).

Το κεφάλαιο που θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε είναι οι γραμμικές συναρτήσεις (για μαθητές από τη β Γυμνασίου). Υπάρχουν πάρα πολλές ασκήσεις (εύκολα μετατρέπονται σε πραγματικά προβλήματα), που ενώ ανήκουν στις γραμμικές δεν επιλύονται με χρήση της γραμμικής συνάρτησης και ταυτόχρονη απεικόνιση σε δισδιάστατο σύστημα αναφοράς (με ευθείες), αλλά ως σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Άποψή μου είναι ότι τα μαθήματα που διδάσκονται στα παιδιά (Γυμνάσιο – Λύκειο) πρέπει να τους είναι χρήσιμα είτε συνεχίσουν τις σπουδές είτε όχι. Η ύλη που υπάρχει και υπηρετεί αυτό το σκοπό είναι τόσο μεγάλη, που δεν περισσεύει χρόνος για μη εφαρμοσμένα μαθηματικά. Π.χ. πόσα παιδιά μπορούν μετά το Λύκειο να κάνουν οικογενειακό προγραμματισμό, ή να επιλέξουν ένα πλυντήριο (αυτοκίνητο, ψυγείο, σκούπα, επάγγελμα, πολιτικό κόμμα…) με κριτήρια βαθμού απόδοσης – απόσβεσης; Και συγκρατώ τον εαυτό μου να μη ρωτήσω ποια εφαρμογή έχουν οι ασκήσεις στις πανελλαδικές!

Η αποδοχή της παραπάνω πρότασης (κάποτε στο μέλλον) θα οδηγήσει σε ένα εκπαιδευτικό σύστημα, όπου οι εξετάσεις (διαγωνίσματα) θα γίνονται με ανοιχτά βιβλία. Σκοπός του εκπαιδευτικού συστήματος (θα έπρεπε να) είναι η αξιοποίηση και όχι η αποστήθιση πληροφοριών (η Γεωγραφία – τόπος – παίζει ρόλο στην Ιστορία – χρονική μεταβολή και αυτό μαθηματικοποιείται ή πόσες λέξεις μπορεί να έχει η ελληνική γλώσσα;).

Πόσο σημαντικό είναι να θυμάται κάποιος ένα μαθηματικό (ή άλλο) τύπο, όταν είναι σε θέση να τον χρησιμοποιήσει; Καθόλου. Η μεγάλη δυσκολία δεν είναι στην επίλυση μιας αλγεβρικής παράστασης, αλλά στη δημιουργία της, δηλ. στην μαθηματικοποίηση ενός υπαρκτού προβλήματος. Και εδώ μπορώ να συμβάλω με τη δεύτερή μου ιδιότητα.

Ο Euler έλεγε (και έπραττε) ότι για κάθε δρομολόγηση λύσης υπάρχει και μια δεύτερη, που οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα. Ο απειροστικός προς τον διαφορικό λογισμό φαίνεται πως δεν είναι ο μόνος δρόμος και εδώ μπορώ να συμβάλω με την τρίτη μου ιδιότητα.

Ακόμα όμως κι αν ήμουν μαθηματικός δεν θα μπορούσα να εκπονήσω ένα έργο για μαθητές, διότι αυτό πρέπει να είναι αποτέλεσμα πολλών ειδικοτήτων και μεγάλης διδακτικής πείρας (τέτοια αποκτώ προσφάτως από τα παιδιά μου και κάτι μου λέει ότι δεν αρκεί!).

Δεν είμαι συμπαθής, ευγενής, υπομονετικός, ανεκτικός ... δηλ. δεν έχω καμία ιδιότητα δασκάλου (μου το λένε οι ίδιοι που με πληρώνουν να βελτιώσω τις επιχειρήσεις τους - όπου ξεκινάω με δωρεάν υπηρεσίες σαν την google..).

Είμαι όμως χρήσιμος (όχι ως πρόσωπο αλλά) ως φορέας ιδιοτήτων (κάτι σαν ιός για εμβόλιο έλλειψης χιούμορ). Π.χ.

Ένα μήλο + ένα πορτοκάλι = 2 φρούτα (η ιδιότητα μετράει όχι το περίβλημα)

Έτσι αρχίζουν τα μαθηματικά της Χημείας, θέλετε να μάθετε πως συνεχίζουν; Λάβετε μέρος.

Τις συγγράφειν (δομείν, συντονίζειν, ελέγχειν, κρίνειν..) βούλεται;

Νίκος Παπαγεωργίου · #2

Τα παιδιά στην Β Γυμνασίου πρέπει να μπορούν να λύνουν απλές (όπως η παρούσα) γραμμικές εξισώσεις. Η επίσημη λύση που προτάθηκε στο παρακάτω πρόβλημα http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... _01_28.pdf διαφέρει από τη δική μου.

Πρόβλημα 4 (Διαγωνισμός Ευκλείδης 2017, Β Γυμνασίου)

Ένας πεζοπόρος περπατάει από το χωριό Α για να πάρει το τρένο στην πόλη Β. Ο πεζοπόρος σε μία ώρα προχώρησε κατά 4 χιλιόμετρα και τότε διαπίστωσε ότι περπατώντας με αυτή την (σταθερή) ταχύτητα θα έφθανε στο σταθμό μία ώρα αργότερα από την αναχώρηση του τρένου. Για αυτό το λόγο στο υπόλοιπο της διαδρομής κινήθηκε με 6 χιλιόμετρα την ώρα και έτσι έφθασε στο σταθμό μισή ώρα νωρίτερα από την αναχώρηση του τρένου. Να βρείτε την απόσταση του χωριού Α από το σταθμό του τρένου στη πόλη Β.

Επειδή έχουμε σταθερή ταχύτητα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση της ευθείας (δύο φορές). Η πρώτη ευθεία ορίζει το διάστημα που ο πεζοπόρος έχει σταθερή ταχύτητα 4 $\left \lfloor \frac{Km}{h} \right \rfloor$ ενώ η δεύτερη το διάστημα που καλύπτει με 6 $\left \lfloor \frac{Km}{h} \right \rfloor$

Γράφουμε τα Δεδομένα με μορφή συναρτήσεων και τα απεικονίζουμε σε διάγραμμα

με μονάδες μέτρησης (μ.μ.)[ώρες], $\Psi$ με μ.μ.[Km]

Αρχική σταθερή ταχύτητα μιας ώρας από το σημείο $\left ( 0, 0 \right )$ μέχρι το σημείο $\left ( 1,4 \right )$

Προκύπτει η ευθεία $\psi =4x$ της δίνουμε τον κωδικό (01)

Η σταθερή ταχύτητα $\upsilon$ σε ένα διάγραμμα απόστασης - χρόνου αντιστοιχεί στην κλίση της ευθείας, δηλ. στην εφαπτομένη της γωνίας που καθορίζει τη διεύθυνση της ευθείας

$\upsilon =\tan \theta =\frac{\Delta \psi }{\Delta x}$

Από το σημείο $\left ( 1,4 \right )$ η ταχύτητα είναι 6 $\left \lfloor \frac{Km}{h} \right \rfloor$

Προκύπτει η ευθεία $\psi =6x+c$ της δίνουμε τον κωδικό (02)

Την δεύτερη ώρα η απόσταση $\Delta \psi$ που θα καλύψει ο πεζοπόρος θα είναι 6Km

. Από το διάγραμμα και την εξίσωση της ευθείας βρίσκουμε ότι στις δύο πρώτες ώρες:

$\psi\left ( 2 \right )=4+6=6*2+c\Rightarrow c=-2$

Το

είναι το σημείο τομής της ευθείας (02) με τον άξονα $\Psi$ . Η ευθεία (01) τέμνει τον άξονα $\Psi$ στο μηδέν.
Η (02) γίνεται:

$\psi =6x-2$

Έστω

ο χρόνος αναχώρησης του τρένου. Η συνολική απόσταση για μεν την (01) (αν ο πεζοπόρος βάδιζε με σταθερή ταχύτητα 4 $\left \lfloor \frac{Km}{h} \right \rfloor$ ) καλύπτεται για x=T+1

[ώρα]

για δε την (02) $x=T-\frac{1}{2}$ [ώρα]

δηλαδή στο ίδιο $\psi$ [Km] οι δύο συναρτήσεις είναι ίσες (με διαφορετικό χρόνο η κάθε μια) (01) = (02)

$4\left ( T+1) \right =6\left ( T-0.5)-2$

Λύνοντας ως προς

βρίσκουμε $T=\frac{9}{2}$

αντικαθιστώντας σε μια από τις δύο συναρτήσεις το Τ βρίσκουμε την τελική απόσταση $\psi =22\left [ Km\right ]$

#3

Καλησπέρα σε όλους!

Για λόγους ενημέρωσης και μόνο, δίνω το σύνδεσμο που παραπέμπει και σε άλλες λύσεις του προβλήματος αυτού (επίσης ευκολότερες από τις "επίσημες" απαντήσεις). Εδώ, εδώ και εδώ.

Συλλογή εφαρμοσμένων μαθηματικών

Συλλογή εφαρμοσμένων μαθηματικών

Re: Συλλογή εφαρμοσμένων μαθηματικών

Re: Συλλογή εφαρμοσμένων μαθηματικών

Μέλη σε σύνδεση