4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αγαπητοί φίλοι, ας συγκεντρώσουμε εδώ τις λύσεις, τις παρατηρήσεις και τυχόν διορθώσεις στις ασκήσεις που αναρτήθηκαν στην Τράπεζα Θεμάτων της Β΄Λυκείου.
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του .
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
edit: 9-11-2014 Πρόσθεσα το σύνδεσμο για τα θέματα.
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του .
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
edit: 9-11-2014 Πρόσθεσα το σύνδεσμο για τα θέματα.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλησπέρα σε όλους και καλή δύναμη!
Ας ξεκινήσουμε με τη σειρά.
GI_V_MATHP_4_18606
Δίνονται τα διανύσματα και , όπου είναι η αρχή των αξόνων.
α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα. (Μονάδες 4)
β) Αν είναι σημείο της ευ-θείας που διέρχεται από τα σημεία και , τότε:
i) να αποδείξετε ότι: και (Μονάδες 5)
ii) να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 6)
iii) αν επιπλέον τα διανύσματα και είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμέ-νες του σημείου . (Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ:
α) Είναι άρα
βi) Αφού τα είναι οι διανυσματικές ακτίνες των , είναι , οπότε
Επίσης είναι
ii) Αφού τα είναι συνευθειακά, είναι
ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ: Είναι , οπότε η ευθεία που διέρχεται από τα έχει εξίσωση .
Αφού το ανήκει στην ευθεία, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της, άρα είναι .
iii) H διανυσματική ακτίνα του είναι , οπότε, αφού ,
θα είναι
Λύνουμε το σύστημα , οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε
άρα
Ας ξεκινήσουμε με τη σειρά.
GI_V_MATHP_4_18606
Δίνονται τα διανύσματα και , όπου είναι η αρχή των αξόνων.
α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα. (Μονάδες 4)
β) Αν είναι σημείο της ευ-θείας που διέρχεται από τα σημεία και , τότε:
i) να αποδείξετε ότι: και (Μονάδες 5)
ii) να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 6)
iii) αν επιπλέον τα διανύσματα και είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμέ-νες του σημείου . (Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ:
α) Είναι άρα
βi) Αφού τα είναι οι διανυσματικές ακτίνες των , είναι , οπότε
Επίσης είναι
ii) Αφού τα είναι συνευθειακά, είναι
ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ: Είναι , οπότε η ευθεία που διέρχεται από τα έχει εξίσωση .
Αφού το ανήκει στην ευθεία, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της, άρα είναι .
iii) H διανυσματική ακτίνα του είναι , οπότε, αφού ,
θα είναι
Λύνουμε το σύστημα , οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε
άρα
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλησπέρα κι από μένα
GI_V_MATHP_4_18609
Σε τρίγωνο είναι , , όπου και , και είναι το μέσο της πλευράς
α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες )
β) Να βρείτε την τιμή του για την οποία το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα (Μονάδες )
γ) Για την τιμή του που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του
τριγώνου (Μονάδες )
ΛΥΣΗ
α) Είναι
β)
γ) Για ,
τ. μ
GI_V_MATHP_4_18609
Σε τρίγωνο είναι , , όπου και , και είναι το μέσο της πλευράς
α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες )
β) Να βρείτε την τιμή του για την οποία το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα (Μονάδες )
γ) Για την τιμή του που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του
τριγώνου (Μονάδες )
ΛΥΣΗ
α) Είναι
β)
γ) Για ,
τ. μ
- Συνημμένα
-
- GI_V_MATHP_4_18609.docx
- (120.37 KiB) Μεταφορτώθηκε 260 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Δευ Νοέμ 10, 2014 12:00 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 519
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Στο συνημμένο αρχείο το θέμα GI_V_MATHP_4_18623
Αθ. Μπεληγιάννης
Αθ. Μπεληγιάννης
- Συνημμένα
-
- GI_V_MATHP_4_18623 .docx
- (57.54 KiB) Μεταφορτώθηκε 328 φορές
τελευταία επεξεργασία από mathfinder σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Never stop learning , because life never stops teaching.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Σε LaTex η λύση του Θανάση
GI_V_MATHP_4_18623
Δίνονται τα σημεία , και , όπου
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία , και δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του .
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι:
i) το εμβαδόν του τριγώνου δεν εξαρτάται από το .
(Μονάδες 5)
ii) για κάθε τιμή του το σημείο ανήκει σε ευθεία , της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
(Μονάδες 7)
γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του ;
(Μονάδες 5)
ΛΥΣΗ
α) Είναι και
Επειδή τα διανύσματα , δεν είναι παράλληλα , άρα τα σημεία Α , Β , Γ δεν είναι συνευθειακά.
β) (i) Είναι :
, άρα το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ανεξάρτητο του μ .
(ii) Αφού Γ (2μ +1,3μ −2) έχουμε : απ’όπου και .
Άρα το Γ για οποιαδήποτε τιμή του μ ανήκει στην ευθεία (ε) με εξίσωση :
ε : .
(γ) Παρατηρούμε ότι οπότε ε ΑΒ .
Άρα για οποιαδήποτε θέση του Γ στην (ε) το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ από το γ έχει σταθερό μήκος , οπότε και το εμβαδόν μένει σταθερό.
GI_V_MATHP_4_18623
Δίνονται τα σημεία , και , όπου
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία , και δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του .
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι:
i) το εμβαδόν του τριγώνου δεν εξαρτάται από το .
(Μονάδες 5)
ii) για κάθε τιμή του το σημείο ανήκει σε ευθεία , της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
(Μονάδες 7)
γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του ;
(Μονάδες 5)
ΛΥΣΗ
α) Είναι και
Επειδή τα διανύσματα , δεν είναι παράλληλα , άρα τα σημεία Α , Β , Γ δεν είναι συνευθειακά.
β) (i) Είναι :
, άρα το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ανεξάρτητο του μ .
(ii) Αφού Γ (2μ +1,3μ −2) έχουμε : απ’όπου και .
Άρα το Γ για οποιαδήποτε τιμή του μ ανήκει στην ευθεία (ε) με εξίσωση :
ε : .
(γ) Παρατηρούμε ότι οπότε ε ΑΒ .
Άρα για οποιαδήποτε θέση του Γ στην (ε) το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ από το γ έχει σταθερό μήκος , οπότε και το εμβαδόν μένει σταθερό.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα GI_V_MATHP_4_18610
Δίνονται οι ευθείες και , όπου
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου οι ευθείες και τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους
(Μονάδες 7)
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου το σημείο ανήκει στην ευθεία (Μονάδες 7)
γ) Αν η ευθεία τέμνει τους άξονες και στα σημεία και αντίστοιχα, τότε:
i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία (Μονάδες 5)
ii) αν είναι τυχαίο σημείο της ευθείας , να αποδείξετε ότι (Μονάδες 6)
ΛΥΣΗ:
α) Λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων .
Προσθέτοντας κατά μέλη είναι ,
οπότε, .
Αφού το σύστημά τους δεν είναι αδύνατο, οι ευθείες τέμνονται στο σημείο
ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ: Είναι . Αφού , οι ευθείες τέμνονται….
β) Έστω οι συντεταγμένες του , οπότε είναι , οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, είναι
γi) H τέμνει τον άξονα σε σημείο με τεταγμένη , οπότε είναι , άρα η τέμνει τον άξονα στο .
H τέμνει τον άξονα σε σημείο με τετμημένη , οπότε είναι , άρα η τέμνει τον άξονα στο .
Είναι , οπότε η παράλληλή του ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση
ii) Έστω τυχαίο σημείο της .
Τότε
Δίνονται οι ευθείες και , όπου
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου οι ευθείες και τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους
(Μονάδες 7)
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου το σημείο ανήκει στην ευθεία (Μονάδες 7)
γ) Αν η ευθεία τέμνει τους άξονες και στα σημεία και αντίστοιχα, τότε:
i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία (Μονάδες 5)
ii) αν είναι τυχαίο σημείο της ευθείας , να αποδείξετε ότι (Μονάδες 6)
ΛΥΣΗ:
α) Λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων .
Προσθέτοντας κατά μέλη είναι ,
οπότε, .
Αφού το σύστημά τους δεν είναι αδύνατο, οι ευθείες τέμνονται στο σημείο
ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ: Είναι . Αφού , οι ευθείες τέμνονται….
β) Έστω οι συντεταγμένες του , οπότε είναι , οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, είναι
γi) H τέμνει τον άξονα σε σημείο με τεταγμένη , οπότε είναι , άρα η τέμνει τον άξονα στο .
H τέμνει τον άξονα σε σημείο με τετμημένη , οπότε είναι , άρα η τέμνει τον άξονα στο .
Είναι , οπότε η παράλληλή του ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση
ii) Έστω τυχαίο σημείο της .
Τότε
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 519
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Στο συνημμένο η λύση του GI_V_MATHP_4_18622
Αθ. Μπεληγιάννης
Αθ. Μπεληγιάννης
- Συνημμένα
-
- GI_V_MATHP_4_18622 .docx
- (55.2 KiB) Μεταφορτώθηκε 318 φορές
Never stop learning , because life never stops teaching.
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλησπέρα. Μια λύση για την GI_V_MATHP_4_18616
Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν:
και όπου .
α) Nα υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο
β) Αν ισχύει , τότε:
i) να αποδείξετε ότι
ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος
iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα.
Λύση
α) Έχουμε
β) i) Ισχύει
ii) Για έχουμε
iii) Υπολογίζουμε τα
και επομένως
άρα τα διανύσματα είναι κάθετα.
Edit : Συμπλήρωσα την εκφώνηση
Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν:
και όπου .
α) Nα υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο
β) Αν ισχύει , τότε:
i) να αποδείξετε ότι
ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος
iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα.
Λύση
α) Έχουμε
β) i) Ισχύει
ii) Για έχουμε
iii) Υπολογίζουμε τα
και επομένως
άρα τα διανύσματα είναι κάθετα.
Edit : Συμπλήρωσα την εκφώνηση
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:02 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Γιώργος
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_MATHP_4_18611
Δίνεται η ευθεία ε: . και τα σημεία και
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου της ευθείας το οποίο ισαπέχει από τα
σημεία και (Μονάδες 7)
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου (Μονάδες 8)
γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία για τα οποία ισχύει ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: και (Μονάδες 10)
Λύση
α)
Επειδή το σημείο ανήκει στην ευθεία θα είναι της μορφής και θα ισχύει:
Άρα
β) .. και
γ) Είναι
Άρα τα σημεία ανήκουν στις ευθείες: και
Δίνεται η ευθεία ε: . και τα σημεία και
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου της ευθείας το οποίο ισαπέχει από τα
σημεία και (Μονάδες 7)
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου (Μονάδες 8)
γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία για τα οποία ισχύει ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: και (Μονάδες 10)
Λύση
α)
Επειδή το σημείο ανήκει στην ευθεία θα είναι της μορφής και θα ισχύει:
Άρα
β) .. και
γ) Είναι
Άρα τα σημεία ανήκουν στις ευθείες: και
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_MATHP_4_18617
Δίνονται τα διανύσματα με μέτρα αντίστοιχα και η μεταξύ τους γωνία.
Eπίσης δίνεται η εξίσωση .
α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε
β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα να δείξετε ότι
γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα να δείξετε ότι
δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στη διχοτόμο της 1ης και της 3ης γωνίας των αξόνων, να δείξετε ότι
Λύση
α) Oι συντελεστές των προφανώς δε μηδενίζονται συγχρόνως, άρα η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε ,
β) Ισχύει άρα τα διανύσματα είναι ομόρροπα και αφού
έχουμε ότι .
γ) Ισχύει άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και αφού
έχουμε ότι .
δ) Για την ευθεία ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, που θα ισούται με την κλίση της διχοτόμου, άρα έχουμε
Δίνονται τα διανύσματα με μέτρα αντίστοιχα και η μεταξύ τους γωνία.
Eπίσης δίνεται η εξίσωση .
α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε
β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα να δείξετε ότι
γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα να δείξετε ότι
δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στη διχοτόμο της 1ης και της 3ης γωνίας των αξόνων, να δείξετε ότι
Λύση
α) Oι συντελεστές των προφανώς δε μηδενίζονται συγχρόνως, άρα η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε ,
β) Ισχύει άρα τα διανύσματα είναι ομόρροπα και αφού
έχουμε ότι .
γ) Ισχύει άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και αφού
έχουμε ότι .
δ) Για την ευθεία ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, που θα ισούται με την κλίση της διχοτόμου, άρα έχουμε
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος
-
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 519
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Στο συνημμένο το GI_V_MATHP_4_18621
Αθ. Μπεληγιάννης
Αθ. Μπεληγιάννης
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑ 4 ( GI_V_MATHP_4_18621).docx
- (53.37 KiB) Μεταφορτώθηκε 324 φορές
Never stop learning , because life never stops teaching.
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
εγώ το GI_V_MATH_4_18618
- Συνημμένα
-
- ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ GI_V_MATHP_4_18618.docx
- (75.95 KiB) Μεταφορτώθηκε 365 φορές
τελευταία επεξεργασία από xr.tsif σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
-
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 519
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Στο συνημμένο το GI_V_MATHP_4_18620 ( αν και μέσα λέει ΘΕΜΑ 2 )
Αθ. Μπεληγιάννης
Αθ. Μπεληγιάννης
- Συνημμένα
-
- GI_V_MATHP_4_18620.docx
- (51.88 KiB) Μεταφορτώθηκε 313 φορές
τελευταία επεξεργασία από mathfinder σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Never stop learning , because life never stops teaching.
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_MATHP_4_18609
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι , όπου και είναι το μέσο της πλευράς .
α) Να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 7)
β) Να βρείτε την τιμή του για την οποία το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα . (Μονάδες 8)
γ) Για την τιμή του που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου . (Μονάδες 10)
Λύση
α) Ισχύει ότι:
β)
γ)
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι , όπου και είναι το μέσο της πλευράς .
α) Να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 7)
β) Να βρείτε την τιμή του για την οποία το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα . (Μονάδες 8)
γ) Για την τιμή του που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου . (Μονάδες 10)
Λύση
α) Ισχύει ότι:
β)
γ)
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Τρί Νοέμ 11, 2014 11:26 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_MATHP_4_18619
Δίνονται τα σημεία , και , .
α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος . (Μονάδες 7)
β) Αν το σημείο ισαπέχει από τα σημεία και , να βρείτε την τιμή του . (Μονάδες 8)
γ) Για ,να βρείτε σημείο ώστε το τετράπλευρο να είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)
Λύση
α) Το μέσο του τμήματος είναι: δηλαδή το
Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι:
Αν είναι η μεσοκάθετος του τότε και η εξίσωση της είναι:
β) Αφού το ισαπέχει από τα σημεία και τότε ανήκει στη μεσοκάθετο του δηλαδή στην ευθεία .
Έτσι με και η γίνεται:
γ) Σημείωση: Αυτό το ερώτημα είναι λάθος γιατί:
Αν τότε δηλαδή το ταυτίζεται με το οπότε δεν υπάρχει τετράπλευρο αφού τα σημεία είναι συνευθειακά.
Δίνονται τα σημεία , και , .
α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος . (Μονάδες 7)
β) Αν το σημείο ισαπέχει από τα σημεία και , να βρείτε την τιμή του . (Μονάδες 8)
γ) Για ,να βρείτε σημείο ώστε το τετράπλευρο να είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)
Λύση
α) Το μέσο του τμήματος είναι: δηλαδή το
Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι:
Αν είναι η μεσοκάθετος του τότε και η εξίσωση της είναι:
β) Αφού το ισαπέχει από τα σημεία και τότε ανήκει στη μεσοκάθετο του δηλαδή στην ευθεία .
Έτσι με και η γίνεται:
γ) Σημείωση: Αυτό το ερώτημα είναι λάθος γιατί:
Αν τότε δηλαδή το ταυτίζεται με το οπότε δεν υπάρχει τετράπλευρο αφού τα σημεία είναι συνευθειακά.
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Το θέμα GI_V_MATHP_4_18622
του Θανάση Μπεληγιάννη σε LaTex.
Δίνονται τα σημεία , και , όπου
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε το σημείο ανήκει στην ευ-θεία που διέρχεται από τα σημεία και
(Μονάδες 8)
γ) Να βρείτε την τιμή του έτσι, ώστε
(Μονάδες 6)
δ) Για την τιμή του που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι , όπου είναι η αρχή των αξόνων.
(Μονάδες 3)
ΛΥΣΗ
α) Είναι και
.
β) Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά. Πράγματι
, άρα είναι δηλαδή τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά.
γ) .
δ) Για μ=1 είναι , δηλαδή το Γ ταυ-τίζεται με το Α.
του Θανάση Μπεληγιάννη σε LaTex.
Δίνονται τα σημεία , και , όπου
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε το σημείο ανήκει στην ευ-θεία που διέρχεται από τα σημεία και
(Μονάδες 8)
γ) Να βρείτε την τιμή του έτσι, ώστε
(Μονάδες 6)
δ) Για την τιμή του που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι , όπου είναι η αρχή των αξόνων.
(Μονάδες 3)
ΛΥΣΗ
α) Είναι και
.
β) Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά. Πράγματι
, άρα είναι δηλαδή τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά.
γ) .
δ) Για μ=1 είναι , δηλαδή το Γ ταυ-τίζεται με το Α.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Θα ετοιμάσω το GI_V_MATHP_4_18622
Το έλυσε ο Θανάσης πιο πάνω !!!
Το έλυσε ο Θανάσης πιο πάνω !!!
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:06 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
To θέμα GI_V_MATHP_4_18621
που έλυσε ο Θανάσης Μπεληγιάννης παραπάνω.
Δίνονται οι ευθείες και ,
όπου
α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του , ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες και . (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Το διάνυσμα είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) και το διάνυσμα είναι παράλληλο στην ευθεία (ζ) .
Έχουμε
Η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα , άρα είναι αδύνατη . Άρα δεν υπάρχει τιμή του κπραγματικού κ ώστε να είναι .
β) Έστω .
Τότε
.
Άρα η οξεία γωνία των διανυσμάτων είναι και η αμβλεία είναι . Οπότε και η αμβλεία γωνία των ευθειών (ε) και (ζ) είναι .
που έλυσε ο Θανάσης Μπεληγιάννης παραπάνω.
Δίνονται οι ευθείες και ,
όπου
α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του , ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες και . (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Το διάνυσμα είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) και το διάνυσμα είναι παράλληλο στην ευθεία (ζ) .
Έχουμε
Η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα , άρα είναι αδύνατη . Άρα δεν υπάρχει τιμή του κπραγματικού κ ώστε να είναι .
β) Έστω .
Τότε
.
Άρα η οξεία γωνία των διανυσμάτων είναι και η αμβλεία είναι . Οπότε και η αμβλεία γωνία των ευθειών (ε) και (ζ) είναι .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αγαπητοί φίλοι, η ανταπόκρισή σας είναι απρόσμενη και συγκινητική.
Μέχρι στιγμής έχουμε τα παρακάτω. Όποιος τρέξει προλαβαίνει (ίσως...)
GI_V_MATHP_4_18606 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18609 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18610 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18611 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18612 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18613 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18614 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18615 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18616 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18617 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18618 ΚΑΠΑΡΩΘΗΚΕ (Χρ. Τσιφάκης)
GI_V_MATHP_4_18619 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18620 ΚΑΠΑΡΩΘΗΚΕ (Θανάσης Μπεληγιάννης)
GI_V_MATHP_4_18621 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18622 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18623 ΛΥΘΗΚΕ
Θα παρακαλέσω να δούμε προσεκτικά τις λύσεις, σημειώνοντας τυχόν αβλεψίες μας, επιπλέον λύσεις κ.α.
Μέχρι στιγμής έχουμε τα παρακάτω. Όποιος τρέξει προλαβαίνει (ίσως...)
GI_V_MATHP_4_18606 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18609 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18610 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18611 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18612 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18613 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18614 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18615 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18616 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18617 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18618 ΚΑΠΑΡΩΘΗΚΕ (Χρ. Τσιφάκης)
GI_V_MATHP_4_18619 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18620 ΚΑΠΑΡΩΘΗΚΕ (Θανάσης Μπεληγιάννης)
GI_V_MATHP_4_18621 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18622 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18623 ΛΥΘΗΚΕ
Θα παρακαλέσω να δούμε προσεκτικά τις λύσεις, σημειώνοντας τυχόν αβλεψίες μας, επιπλέον λύσεις κ.α.
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ξεκινάω το 18612
- Συνημμένα
-
- GI_V_MATHP_4_18612.ggb
- (5.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 324 φορές
-
- GI_V_MATHP_4_18612.docx
- (66.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 338 φορές
τελευταία επεξεργασία από xr.tsif σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:24 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες