Σε LaTex η λύση του
Θανάση
GI_V_MATHP_4_18623
Δίνονται τα σημεία

,

και

, όπου

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων

και

και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία

,

και

δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του

.
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι:
i) το εμβαδόν του τριγώνου

δεν εξαρτάται από το

.
(Μονάδες 5)
ii) για κάθε τιμή του

το σημείο

ανήκει σε ευθεία

, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
(Μονάδες 7)
γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου

παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του

;
(Μονάδες 5)
ΛΥΣΗ
α) Είναι

και
Επειδή

τα διανύσματα

,

δεν είναι παράλληλα , άρα τα σημεία Α , Β , Γ δεν είναι συνευθειακά.
β) (i) Είναι :

, άρα το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ανεξάρτητο του μ .
(ii) Αφού Γ (2μ +1,3μ −2) έχουμε :

απ’όπου

και

.
Άρα το Γ για οποιαδήποτε τιμή του μ ανήκει στην ευθεία (ε) με εξίσωση :
ε :

.
(γ) Παρατηρούμε ότι

οπότε ε ΑΒ .
Άρα για οποιαδήποτε θέση του Γ στην (ε) το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ από το γ έχει σταθερό μήκος , οπότε και το εμβαδόν μένει σταθερό.