4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4131
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 25, 2014 12:12 am

Αγαπητοί φίλοι, ας συγκεντρώσουμε εδώ τις λύσεις, τις παρατηρήσεις και τυχόν διορθώσεις στις ασκήσεις που αναρτήθηκαν στην Τράπεζα Θεμάτων της Β΄Λυκείου.

Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του :logo: .
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του :logo: που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

edit: 9-11-2014 Πρόσθεσα το σύνδεσμο για τα θέματα.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4131
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Νοέμ 09, 2014 7:18 pm

Καλησπέρα σε όλους και καλή δύναμη!

Ας ξεκινήσουμε με τη σειρά.


GI_V_MATHP_4_18606



Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}A}  = \left( {4, - 2} \right) και \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}B}  = \left( {1,2} \right), όπου \displaystyle {\rm O} είναι η αρχή των αξόνων.
α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}A} και \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} είναι κάθετα. (Μονάδες 4)

β) Αν \displaystyle \Gamma \left( {\alpha ,\beta } \right) είναι σημείο της ευ-θείας που διέρχεται από τα σημεία \displaystyle {\rm A} και \displaystyle {\rm B}, τότε:
i) να αποδείξετε ότι: \displaystyle \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3,4} \right) και \displaystyle \overrightarrow {A\Gamma }  = \left( {\alpha  - 4,\beta  + 2} \right) (Μονάδες 5)

ii) να αποδείξετε ότι: \displaystyle 4\alpha  + 3\beta  = 10 (Μονάδες 6)

iii) αν επιπλέον τα διανύσματα \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}\Gamma } και \displaystyle \overrightarrow {AB} είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμέ-νες του σημείου \displaystyle \Gamma. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ:

α) Είναι \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}A}  \cdot \overrightarrow {{\rm O}B}  = 4 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot 2 = 0 άρα \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}A}  \bot \overrightarrow {{\rm O}B}

βi) Αφού τα \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}A} ,\;\overrightarrow {{\rm O}B} είναι οι διανυσματικές ακτίνες των \displaystyle {\rm A},\;{\rm B}, είναι \displaystyle {\rm A}\left( {4,\; - 2} \right),\;\;{\rm B}\left( {1,\;2} \right), οπότε \displaystyle \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  = \left( {1 - 4,\;2 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 3,\;4} \right)

Επίσης είναι \displaystyle \overrightarrow {{\rm A}\Gamma }  = \left( {\alpha  - 4,\;\beta  - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {\alpha  - 4,\;\beta  + 2} \right)

ii) Αφού τα \displaystyle {\rm A},\;{\rm B},\;\Gamma είναι συνευθειακά, είναι \displaystyle \det \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {A\Gamma } } \right) = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{ - 3}&4\\ 
{\alpha  - 4}&{\beta  + 2} 
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow  - 3\left( {\beta  + 2} \right) - 4\left( {\alpha  - 4} \right) = 0

\Leftrightarrow  - 3\beta  - 6 - 4\alpha  + 16 = 0 \Leftrightarrow 4\alpha  + 3\beta  = 10

ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ: Είναι \displaystyle {\lambda _{{\rm A}{\rm B}}} =  - \frac{4}{3}, οπότε η ευθεία που διέρχεται από τα \displaystyle {\rm A},\;{\rm B} έχει εξίσωση \displaystyle y - 2 =  - \frac{4}{3}\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow 3y - 6 =  - 4x + 4 \Leftrightarrow 4x + 3y = 10.

Αφού το \displaystyle {\rm{\Gamma }} ανήκει στην ευθεία, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της, άρα είναι \displaystyle 4\alpha  + 3\beta  = 10.

iii) H διανυσματική ακτίνα του \displaystyle \Gammaείναι \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}\Gamma }  = \left( {\alpha ,\;\beta } \right), οπότε, αφού \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}\Gamma }  \bot \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}},

θα είναι \displaystyle \overrightarrow {{\rm O}\Gamma }  \cdot \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  =  - 3\alpha  + 4\beta  = 0

Λύνουμε το σύστημα \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
4\alpha  + 3\beta  = 10\\ 
 - 3\alpha  + 4\beta  = 0 
\end{array} \right.\;\mathop  \Rightarrow \limits_{ \cdot 4}^{ \cdot 3} \;\left\{ \begin{array}{l} 
12\alpha  + 9\beta  = 30\\ 
 - 12\alpha  + 16\beta  = 0 
\end{array} \right., οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε \displaystyle 25\beta  = 30 \Leftrightarrow \beta  = \frac{6}{5}

άρα \displaystyle 4\alpha  = 10 - \frac{{18}}{5} \Leftrightarrow 4\alpha  = \frac{{32}}{5} \Leftrightarrow \alpha  = \frac{8}{5}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7216
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 09, 2014 7:56 pm

Καλησπέρα κι από μένα

GI_V_MATHP_4_18609

Σε τρίγωνο AB\Gamma είναι \displaystyle{\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  = (\lambda ,\lambda  + 1)}, \displaystyle{\overrightarrow {{\rm A}\Gamma }  = (3\lambda ,\lambda  - 1)}, όπου \displaystyle{\lambda  \ne 0} και \displaystyle{\lambda  \ne  - 2} , και M είναι το μέσο της πλευράς B\Gamma
α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\overrightarrow {{\rm A}{\rm M}}  = (2\lambda ,\lambda )} (Μονάδες 7)
β) Να βρείτε την τιμή του \lambda για την οποία το διάνυσμα \displaystyle{\overrightarrow {{\rm A}{\rm M}} } είναι κάθετο στο διάνυσμα \displaystyle{\overrightarrow \alpha   = \left( {\frac{2}{\lambda }, - \lambda } \right)} (Μονάδες 8)
γ) Για την τιμή του \lambda που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του
τριγώνου AB\Gamma (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Είναι \displaystyle{\overrightarrow {{\rm A}{\rm M}}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  + \overrightarrow {{\rm A}\Gamma } } \right) = \frac{1}{2}(4\lambda ,2\lambda ) = (2\lambda ,\lambda )}

β) \displaystyle{\overrightarrow {{\rm A}{\rm M}}  \cdot \overrightarrow \alpha   = 0 \Leftrightarrow (2\lambda ,\lambda )\left( {\frac{2}{\lambda }, - \lambda } \right) = 0 \Leftrightarrow 4 - {\lambda ^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\lambda  \ne  - 2} \lambda  = 2}

γ) Για \lambda=2, \displaystyle{\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  = (2,3),\overrightarrow {{\rm A}\Gamma }  = (6,1)}

\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = \frac{1}{2}|\det (\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} ,\overrightarrow {{\rm A}\Gamma } )| = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&3\\ 
6&1 
\end{array}} \right|| \Leftrightarrow (AB\Gamma ) = 8} τ. μ
Συνημμένα
GI_V_MATHP_4_18609.docx
(120.37 KiB) Μεταφορτώθηκε 172 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Δευ Νοέμ 10, 2014 12:00 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 497
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:14 pm

Στο συνημμένο αρχείο το θέμα GI_V_MATHP_4_18623

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_4_18623 .docx
(57.54 KiB) Μεταφορτώθηκε 236 φορές
τελευταία επεξεργασία από mathfinder σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Never stop learning , because life never stops teaching.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4131
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:24 pm

Σε LaTex η λύση του Θανάση

GI_V_MATHP_4_18623

Δίνονται τα σημεία {\rm A}\left( {3,4} \right), B\left( {5,7} \right) και \Gamma \left( {2\mu  + 1,3\mu  - 2} \right), όπου \mu  \in R
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \overrightarrow {AB}και \overrightarrow {A\Gamma } και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία {\rm A}, B και \Gamma δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του \mu.
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι:
i) το εμβαδόν του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma δεν εξαρτάται από το \mu.
(Μονάδες 5)
ii) για κάθε τιμή του \mu το σημείο \Gamma ανήκει σε ευθεία \varepsilon, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
(Μονάδες 7)
γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του \mu;
(Μονάδες 5)


ΛΥΣΗ


α) Είναι \displaystyle \overrightarrow {AB}  = \left( {5 - 3,7 - 4} \right) = \left( {2,3} \right) και \displaystyle \overrightarrow {A\Gamma }  = \left( {2\mu  + 1 - 3,3\mu  - 2 - 4} \right) = \left( {2\mu  - 2,3\mu  - 6} \right)
Επειδή \displaystyle \det \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A\Gamma } } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&3\\ 
{2\mu  - 2}&{3\mu  - 6} 
\end{array}} \right| = 6\mu  - 12 - 6\mu  + 6 =  - 6 \ne 0 τα διανύσματα \displaystyle \overrightarrow {AB} , \displaystyle \overrightarrow {A\Gamma } δεν είναι παράλληλα , άρα τα σημεία Α , Β , Γ δεν είναι συνευθειακά.

β) (i) Είναι : \displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A\Gamma } } \right)} \right| = \frac{1}{2}\left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&3\\ 
{2\mu  - 2}&{3\mu  - 6} 
\end{array}} \right|} \right| =

\displaystyle \frac{1}{2}\left| {6\mu  - 12 - 6\mu  + 6} \right| = 3\tau .\mu  , , άρα το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ανεξάρτητο του μ .

(ii) Αφού Γ (2μ +1,3μ −2) έχουμε : \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = 2\mu  + 1}\\ 
{y = 3\mu  - 2} 
\end{array}} \right. απ’όπου \displaystyle \mu  = \frac{{x - 1}}{2} και \displaystyle y = 3\frac{{x - 1}}{2} - 2 \Rightarrow 2y = 3x - 3 - 4 \Rightarrow 3x - 2y = 7 .

Άρα το Γ για οποιαδήποτε τιμή του μ ανήκει στην ευθεία (ε) με εξίσωση :
ε : \displaystyle 3x - 2y = 7 .

(γ) Παρατηρούμε ότι \displaystyle {\lambda _\varepsilon } = \frac{3}{2} = {\lambda _{\overrightarrow {AB} }} οπότε ε ΑΒ .

Άρα για οποιαδήποτε θέση του Γ στην (ε) το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ από το γ έχει σταθερό μήκος , οπότε και το εμβαδόν μένει σταθερό.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4131
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:44 pm

Θέμα GI_V_MATHP_4_18610


Δίνονται οι ευθείες {\varepsilon _1}:2\chi  - \psi  - 10\lambda  + 16 = 0 και {\varepsilon _2}:10\chi  + \psi  - 2\lambda  - 4 = 0, όπου \lambda  \in R
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου \lambda οι ευθείες {\varepsilon _1} και {\varepsilon _2} τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M
(Μονάδες 7)
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου \lambda το σημείο M ανήκει στην ευθεία \varepsilon :8\chi  + \psi  - 6 = 0 (Μονάδες 7)
γ) Αν η ευθεία \varepsilon τέμνει τους άξονες \chi '\chi και \psi '\psi στα σημεία {\rm A} και B αντίστοιχα, τότε:
i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \zeta που διέρχεται από την αρχή {\rm O} των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία AB (Μονάδες 5)
ii) αν {\rm K}είναι τυχαίο σημείο της ευθείας \zeta, να αποδείξετε ότι \left( {{\rm K}{\rm A}{\rm B}} \right) = \frac{9}{4} (Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ:
α) Λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων \left\{ \begin{array}{l} 
2\chi  - \psi  - 10\lambda  + 16 = 0\\ 
10\chi  + \psi  - 2\lambda  - 4 = 0 
\end{array} \right.\;.

Προσθέτοντας κατά μέλη είναι 12\chi  = 12\lambda  - 12 \Leftrightarrow \chi  = \lambda  - 1,
οπότε, \psi  = 2\lambda  + 4 - 10\left( {\lambda  - 1} \right) =  - 8\lambda  + 14.

Αφού το σύστημά τους δεν είναι αδύνατο, οι ευθείες τέμνονται στο σημείο {\rm M}\left( {\lambda  - 1,\; - 8\lambda  + 14} \right),\;\;\lambda  \in R

ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ: Είναι {{\rm{\lambda }}_{{\varepsilon _1}}} =  - \frac{2}{{ - 1}} = 2,\;\;{\lambda _{{\varepsilon _2}}} =  - \frac{{10}}{1} =  - 10. Αφού {{\rm{\lambda }}_{{\varepsilon _1}}} \ne \;{\lambda _{{\varepsilon _2}}}, οι ευθείες τέμνονται….

β) Έστω {\rm M}\left( {\chi ,\;\psi } \right) οι συντεταγμένες του {\rm M}, οπότε είναι \left\{ \begin{array}{l} 
\chi  = \lambda  - 1\\ 
\psi  =  - 8\lambda  + 14 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
8\chi  = 8\lambda  - 8\\ 
\psi  =  - 8\lambda  + 14 
\end{array} \right., οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, είναι
\varepsilon :\;\;\;\;8\chi  + \psi  - 6 = 0

γi) H \left( \varepsilon  \right) τέμνει τον άξονα \chi '\chi σε σημείο με τεταγμένη 0, οπότε είναι 8\chi  + 0 = 6 \Leftrightarrow \chi  = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}, άρα η \left( \varepsilon  \right) τέμνει τον άξονα \chi '\chi στο {\rm A}\left( {\frac{3}{4},\;0} \right).

H \left( \varepsilon  \right) τέμνει τον άξονα \psi '\psi σε σημείο με τετμημένη 0, οπότε είναι 8 \cdot 0 + \psi  = 6 \Leftrightarrow \psi  = 6, άρα η \left( \varepsilon  \right) τέμνει τον άξονα \psi '\psi στο {\rm B}\left( {0,\;6} \right).

Είναι {\lambda _{\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} }} = \frac{{6 - 0}}{{0 - \frac{3}{4}}} =  - 8, οπότε η παράλληλή του ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση \left( \zeta  \right):\;\;\psi  =  - 8{\rm{\chi }}

ii) Έστω {\rm K}\left( {\chi ,\; - 8\chi } \right),\;\chi  \in R τυχαίο σημείο της \left( \zeta  \right).

Τότε \overrightarrow {{\rm A}{\rm K}}  = \left( {\chi  - \frac{3}{4},\; - 8\chi } \right)\;\;\;\overrightarrow {{\rm B}{\rm K}}  = \left( {\chi ,\; - 8\chi  - 6} \right)\;
\left( {{\rm K}{\rm A}{\rm B}} \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\overrightarrow {{\rm A}{\rm K}} ,\;\overrightarrow {{\rm B}{\rm K}} \;} \right)} \right| = \frac{1}{2}\left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\chi  - \frac{3}{4}}&{ - 8\chi }\\ 
\chi &{ - 8\chi  - 6} 
\end{array}} \right|} \right| =

\frac{1}{2}\left| { - 8{\chi ^2} + 6\chi  - 6\chi  + \frac{9}{2} + 8{\chi ^2}} \right| = \frac{9}{4}
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 497
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:46 pm

Στο συνημμένο η λύση του GI_V_MATHP_4_18622

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_4_18622 .docx
(55.2 KiB) Μεταφορτώθηκε 232 φορές


Never stop learning , because life never stops teaching.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:49 pm

Καλησπέρα. Μια λύση για την GI_V_MATHP_4_18616

Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle{\vec a,\vec\beta,\vec \gamma} για τα οποία ισχύουν:

\displaystyle{|\vec a|=2,|\vec\beta|=1,\left(\widehat{\vec a,\vec \beta}\right)=60^o} και \displaystyle{\vec \gamma=\frac{\kappa}{2}\vec a-\vec \beta} όπου \displaystyle{\kappa \in \mathbb R}.

α) Nα υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο \displaystyle{\vec a\cdot \vec \beta}

β) Αν ισχύει \displaystyle{\vec \beta\cdot \vec \gamma=\kappa}, τότε:

i) να αποδείξετε ότι \displaystyle{\kappa=-2}

ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος \displaystyle{\gamma}

iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \displaystyle{3\vec a+2\vec\gamma} και \displaystyle{\vec\beta-\vec\gamma} είναι κάθετα.

Λύση

α) Έχουμε \displaystyle{\vec a\cdot \vec \beta=|\vec a||\vec \beta|\sigma \upsilon \nu 60^o=2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1}

β) i) Ισχύει \displaystyle{\vec \beta \cdot \vec \gamma=\kappa\Leftrightarrow \beta\cdot\left(\frac{\kappa}{2}\vec a-\vec \beta\right)=\kappa\Leftrightarrow \frac{\kappa}{2}a\cdot\beta-|\vec \beta|^2=\kappa\Leftrightarrow \frac{\kappa}{2}\cdot 1-1^2=\kappa\Leftrightarrow \kappa=-2}

ii) Για \displaystyle{\kappa=-2} έχουμε \displaystyle{\vec \gamma=-\vec a-\vec\beta\Rightarrow \vec \gamma ^2=(-\vec a-\vec \beta)^2\Rightarrow  |\vec\gamma|^2=|\vec a|^2-2\vec a\cdot \vec\beta+|\vec \beta|^2\Rightarrow  }

\displaystyle{\Rightarrow  |\vec\gamma|^2=2^2-2\cdot 1+1^2\Rightarrow |\vec\gamma|^2=7\Rightarrow |\vec\gamma|=\sqrt{7}}

iii) Υπολογίζουμε τα \displaystyle{\vec a\cdot\vec \gamma=\vec a\cdot(-\vec a-\vec\beta)=-|\vec a|^2-\vec a\cdot \vec\beta=-2^2-1=-5 }

και \displaystyle{\vec \beta\cdot\vec \gamma=\vec \beta\cdot(-\vec a-\vec\beta)=-\vec a\cdot \vec\beta-|\vec a|^2=-1-1^2=-2 } επομένως

\displaystyle{(3\vec a+2\vec \gamma)\cdot(\vec \beta-\vec \gamma)=3\vec a\cdot \vec\beta-2\vec a\cdot \vec\gamma+2\vec\beta\cdot \vec\gamma-2|\gamma|^2=3\cdot 1-3(-5)+2(-2)-2\cdot 7=0}

άρα τα διανύσματα είναι κάθετα.

Edit : Συμπλήρωσα την εκφώνηση
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:02 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 935
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Νοέμ 09, 2014 8:53 pm

GI_V_MATHP_4_18611

Δίνεται η ευθεία ε: x - 4y - 7 = 0. και τα σημεία A\left( { - 2,4} \right) και B\left( {2,6} \right)
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας \varepsilon το οποίο ισαπέχει από τα
σημεία A και B (Μονάδες 7)
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου MAB (Μονάδες 8)
γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία K\left( {x,y} \right) για τα οποία ισχύει \displaystyle{\left( {KAB} \right) = \left( {MAB} \right)} ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: x - 2y - 5 = 0 και x - 2y + 25 = 0 (Μονάδες 10)

Λύση

α) x - 4y - 7 = 0 \Leftrightarrow x = 4y + 7
Επειδή το σημείο M ανήκει στην ευθεία \varepsilon θα είναι της μορφής M\left( {4\alpha  + 7,\alpha } \right) και θα ισχύει:

\left( {MA} \right) = \left( {MB} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {4\alpha  + 9} \right)}^2} + {{\left( {\alpha  - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {4\alpha  + 5} \right)}^2} + {{\left( {\alpha  - 6} \right)}^2}}  \Leftrightarrow

16{\alpha ^2} + 72\alpha  + 81 + {\alpha ^2} - 8\alpha  + 16 = 16{\alpha ^2} + 40\alpha  + 25 + {\alpha ^2} - 12\alpha  + 36 \Leftrightarrow

36\alpha  =  - 36 \Leftrightarrow \alpha  =  - 1

Άρα M\left( {3, - 1} \right)

β) .\mathop {AM}\limits^ \to   = \left( {5, - 5} \right). και \displaystyle{\mathop {AB}\limits^ \to   = \left( {4,2} \right)}

\left( {MAB} \right) = \dfrac{1}{2}\left| {\det \left( {\mathop {MA}\limits^ \to  ,\mathop {AB}\limits^ \to  } \right)} \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
5&{ - 5}\\ 
4&2 
\end{array}} \right|} \right| = 15\;\tau .\mu .

γ) Είναι \mathop {AK}\limits^ \to   = \left( {x + 2,y - 4} \right)

\left( {KAB} \right) = \left( {MAB} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left| {\det \left( {\mathop {AK}\limits^ \to  ,\mathop {AB}\limits^ \Rightarrow  } \right)} \right| = 15 \Rightarrow

\frac{1}{2}\left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x + 2}&{y - 4}\\ 
4&2 
\end{array}} \right|} \right| = 15 \Rightarrow \left| {2x - 4y + 20} \right| = 30 \Rightarrow

2x - 4y + 20 = 30\quad \dot \eta \quad 2x - 4y + 20 =  - 30 \Rightarrow

x - 2y - 5 = 0\quad \dot \eta \quad x - 2y + 25 = 0

Άρα τα σημεία K\left( {x,y} \right) ανήκουν στις ευθείες: x - 2y - 5 = 0 και x - 2y + 25 = 0
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:05 pm

GI_V_MATHP_4_18617

Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle{\vec a,\vec b} με μέτρα \displaystyle{2,~6} αντίστοιχα και \displaystyle{\phi \in [0,\pi]} η μεταξύ τους γωνία.

Eπίσης δίνεται η εξίσωση \displaystyle{(\vec a\cdot \vec b+12)x+(\vec a\cdot \vec b-12)y-5=0~~(1)}.

α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε \displaystyle{\phi \in [0,\pi]}

β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα \displaystyle{y'y} να δείξετε ότι \displaystyle{\vec b=3\vec a}

γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα \displaystyle{x'x} να δείξετε ότι \displaystyle{\vec b=-3\vec a}

δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στη διχοτόμο της 1ης και της 3ης γωνίας των αξόνων, να δείξετε ότι \displaystyle{\vec a\perp \vec b}

Λύση

α) Oι συντελεστές των \displaystyle{x,y} προφανώς δε μηδενίζονται συγχρόνως, άρα η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε \displaystyle{\phi \in [0,\pi]},

β) Ισχύει \displaystyle{\vec a \cdot \vec b-12=0\Rightarrow \vec a \cdot \vec b=12\Rightarrow \vec a \cdot \vec b=|\vec a|| \vec b| } άρα τα διανύσματα είναι ομόρροπα και αφού

\displaystyle{|\vec b|=3|\vec a|} έχουμε ότι \displaystyle{\vec b=3\vec a}.

γ) Ισχύει \displaystyle{\vec a \cdot \vec b+12=0\Rightarrow \vec a \cdot \vec b=-12\Rightarrow \vec a \cdot \vec b=-|\vec a|| \vec b| } άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και αφού

\displaystyle{|\vec b|=3|\vec a|} έχουμε ότι \displaystyle{\vec b=-3\vec a}.

δ) Για την ευθεία ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, που θα ισούται με την κλίση της διχοτόμου, άρα έχουμε

\displaystyle{-\frac{\vec a \cdot \vec b+12}{\vec a \cdot \vec b-12}=1\Rightarrow -\vec a \cdot \vec b-12=\vec a \cdot \vec b-12\Rightarrow \vec a\cdot \vec b=0\Rightarrow \vec a\perp \vec b }
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος
mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 497
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:21 pm

Στο συνημμένο το GI_V_MATHP_4_18621

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 4 ( GI_V_MATHP_4_18621).docx
(53.37 KiB) Μεταφορτώθηκε 241 φορές


Never stop learning , because life never stops teaching.
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1947
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:23 pm

εγώ το GI_V_MATH_4_18618
Συνημμένα
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ GI_V_MATHP_4_18618.docx
(75.95 KiB) Μεταφορτώθηκε 280 φορές
τελευταία επεξεργασία από xr.tsif σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 497
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:30 pm

Στο συνημμένο το GI_V_MATHP_4_18620 ( αν και μέσα λέει ΘΕΜΑ 2 )

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_4_18620.docx
(51.88 KiB) Μεταφορτώθηκε 233 φορές
τελευταία επεξεργασία από mathfinder σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Never stop learning , because life never stops teaching.
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2490
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:40 pm

GI_V_MATHP_4_18609
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι \overrightarrow{AB} = (\lambda , \lambda + 1) , \overrightarrow{A\Gamma} = (3\lambda , \lambda - 1 ), όπου \lambda \neq 0 , \lambda \neq - 2 και M είναι το μέσο της πλευράς B\Gamma.
α) Να αποδείξετε ότι \overrightarrow{AM} = (2\lambda , \lambda ). (Μονάδες 7)
β) Να βρείτε την τιμή του \lambda για την οποία το διάνυσμα \overrightarrow{AM} είναι κάθετο στο διάνυσμα \overrightarrow{\alpha} = \left(\frac{2}{\lambda} , - \lambda \right). (Μονάδες 8)
γ) Για την τιμή του\lambda που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου AB\Gamma. (Μονάδες 10)

Λύση
α) Ισχύει ότι: \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Gamma}) = \frac{1}{2}\left((\lambda , \lambda+1) + (3\lambda , \lambda - 1)\right) = (2\lambda, \lambda)

β) \overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{\alpha} \Leftrightarrow (\overrightarrow a \neq \overrightarrow 0 , \overrightarrow{AM} \neq \overrightarrow 0, \lambda\neq 0)\qquad \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{a} = 0 \Leftrightarrow 2\lambda \cdot \frac{2}{\lambda} - \lambda \cdot \lambda = 0 \Leftrightarrow \lambda = \pm 2 \Leftrightarrow (\lambda \neq -2) \qquad \lambda=2

γ) (\triangle{AB\Gamma}) = \frac{1}{2} |det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma})|=\frac{1}{2}|\left| \begin{array}{cc}  
 2 & 3 \\ 6 & 1\end{array}\right| | = \frac{1}{2} |2 - 18| = 8
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Τρί Νοέμ 11, 2014 11:26 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 935
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:43 pm

GI_V_MATHP_4_18619

Δίνονται τα σημεία A\left( {\lambda  - 1,12 - 2\lambda } \right), B\left( {2,2} \right) και \Gamma \left( {4,6} \right), \lambda  \in R.
α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος {\rm B}\Gamma . (Μονάδες 7)
β) Αν το σημείο Aισαπέχει από τα σημεία B και \Gamma, να βρείτε την τιμή του \lambda. (Μονάδες 8)
γ) Για \lambda  = 4 ,να βρείτε σημείο \Delta ώστε το τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}\Delta \Gamma να είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)

Λύση

α) Το μέσο M του τμήματος {\rm B}\Gamma είναι: M\left( {\dfrac{{2 + 4}}{2},\dfrac{{2 + 6}}{2}} \right) δηλαδή το M\left( {3,4} \right)

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας {\rm B}\Gamma είναι: {\lambda _{B\Gamma }} = \dfrac{{6 - 2}}{{4 - 2}} = 2

Αν \delta είναι η μεσοκάθετος του {\rm B}\Gamma τότε {\lambda _\delta } \cdot {\lambda _{{\rm B}\Gamma }} =  - 1 \Leftrightarrow {\lambda _\delta } =  - \frac{1}{2} και η εξίσωση της \delta είναι:

y - {y_M} = {\lambda _\delta }\left( {x - {x_M}} \right) \Leftrightarrow y - 4 =  - \dfrac{1}{2}\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow x + 2y = 11

β) Αφού το Aισαπέχει από τα σημεία B και \Gamma τότε ανήκει στη μεσοκάθετο του {\rm B}\Gamma δηλαδή στην ευθεία \delta.

Έτσι με x = \lambda  - 1 και y = 12 - 2\lambda η \delta γίνεται:

\lambda  - 1 + 2\left( {12 - 2\lambda } \right) = 11 \Leftrightarrow \lambda  = 4

γ) Σημείωση: Αυτό το ερώτημα είναι λάθος γιατί:

Αν \lambda  = 4 τότε A\left( {3,4} \right) δηλαδή το A ταυτίζεται με το M οπότε δεν υπάρχει τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}\Delta \Gamma αφού τα σημεία A,B,\Gamma είναι συνευθειακά.
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4131
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:44 pm

Το θέμα GI_V_MATHP_4_18622
του Θανάση Μπεληγιάννη σε LaTex.

Δίνονται τα σημεία {\rm A}\left( {1,\frac{{ - 3}}{2}} \right), B\left( {2, - 1} \right) και \Gamma \left( {\mu ,\frac{{\mu  - 4}}{2}} \right), όπου \mu  \in R
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \overrightarrow {AB}και \overrightarrow {{\rm B}\Gamma }
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε \mu  \in R το σημείο \Gamma ανήκει στην ευ-θεία που διέρχεται από τα σημεία {\rm A} και {\rm B}
(Μονάδες 8)
γ) Να βρείτε την τιμή του \mu έτσι, ώστε \mu  \cdot \overrightarrow {{\rm B}\Gamma }  =  - \overrightarrow {AB}
(Μονάδες 6)
δ) Για την τιμή του \mu που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι \left( {{\rm O}{\rm B}\Gamma } \right) = 1, όπου O είναι η αρχή των αξόνων.
(Μονάδες 3)

ΛΥΣΗ
α) Είναι \displaystyle{\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 1, - 1 + \frac{3}{2}} \right) = \left( {1,\frac{1}{2}} \right)} και
\displaystyle{\overrightarrow {{\rm B}\Gamma }  = \left( {\mu  - 2,\frac{{\mu  - 4}}{2} + 1} \right) = \left( {\mu  - 2,\frac{{\mu  - 2}}{2}} \right)} .

β) Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά. Πράγματι
\displaystyle{\det \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{\rm B}\Gamma } } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&{\frac{1}{2}}\\ 
{\mu  - 2}&{\frac{{\mu  - 2}}{2}} 
\end{array}} \right| = \frac{{\mu  - 2}}{2} - \frac{{\mu  - 2}}{2} = 0} , άρα είναι \displaystyle{\overrightarrow {AB} \parallel \overrightarrow {B\Gamma } }δηλαδή τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά.

γ) \displaystyle{\mu  \cdot \overrightarrow {B\Gamma }  =  - \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \mu  \cdot \left( {\mu  - 2,\frac{{\mu  - 2}}{2}} \right) =  - \left( {1,\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow \mu \left( {\mu  - 2} \right)\left( {1,\frac{1}{2}} \right) =  - \left( {1,\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow }\displaystyle{ \Leftrightarrow \mu \left( {\mu  - 2} \right) =  - 1 \Leftrightarrow {\mu ^2} - 2\mu  + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\mu  - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \mu  = 1} .

δ) Για μ=1 είναι \displaystyle{\Gamma \left( {1,\frac{{ - 3}}{2}} \right)} , δηλαδή το Γ ταυ-τίζεται με το Α.

\displaystyle{\left( {{\rm O}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\overrightarrow {{\rm O}B} ,\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } } \right)} \right| = \frac{1}{2}\left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&{ - 1}\\ 
1&{\frac{{ - 3}}{2}} 
\end{array}} \right|} \right| = \frac{1}{2}\left| { - 3 + 1} \right| = 1\tau .\mu }


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5267
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:45 pm

Θα ετοιμάσω το GI_V_MATHP_4_18622

Το έλυσε ο Θανάσης πιο πάνω !!!
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:06 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4131
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Νοέμ 09, 2014 9:52 pm

To θέμα GI_V_MATHP_4_18621
που έλυσε ο Θανάσης Μπεληγιάννης παραπάνω.

Δίνονται οι ευθείες \varepsilon :2\kappa \chi  - \left( {1 + \kappa } \right)\psi  + 1 - 3\kappa  = 0 και \zeta :\left( {1 + 3\kappa } \right)\chi  + \left( {\kappa  - 1} \right)\psi  + 2 - 6\kappa  = 0,
όπου
α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του \kappa, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες \left( \varepsilon  \right)και \left( \zeta  \right). (Μονάδες 15)


ΛΥΣΗ


α) Το διάνυσμα \displaystyle \overrightarrow u  = \left( { - 1 - \kappa , - 2\kappa } \right) είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) και το διάνυσμα \displaystyle \overrightarrow v  = \left( {\kappa  - 1, - 3\kappa  - 1} \right) είναι παράλληλο στην ευθεία (ζ) .

Έχουμε \displaystyle \varepsilon \parallel |\zeta  \Leftrightarrow \overrightarrow u \parallel \overrightarrow v  \Leftrightarrow \det \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{ - 1 - \kappa }&{ - 2\kappa }\\ 
{\kappa  - 1}&{ - 3\kappa  - 1} 
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow 5{\kappa ^2} + 2\kappa  + 1 = 0

Η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα \displaystyle \Delta  =  - 16 , άρα είναι αδύνατη . Άρα δεν υπάρχει τιμή του κπραγματικού κ ώστε να είναι \displaystyle \varepsilon \parallel |\zeta .

β) Έστω \displaystyle \omega  = \left( {\widehat {\overrightarrow v ,\overrightarrow u }} \right) .

Τότε \displaystyle \sigma \upsilon \nu \omega  = \frac{{\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\left( { - 1 - \kappa } \right)\left( {\kappa  - 1} \right) + \left( { - 2\kappa } \right)\left( { - 3\kappa  - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 1 - \kappa } \right)}^2} + {{\left( { - 2\kappa } \right)}^2}} \sqrt {{{\left( {\kappa  - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3\kappa  - 1} \right)}^2}} }} =

\displaystyle  = \frac{{5{\kappa ^2} + 2\kappa  + 1}}{{\sqrt {5{\kappa ^2} + 2\kappa  + 1} \sqrt {10{\kappa ^2} + 4\kappa  + 2} }} = \frac{{5{\kappa ^2} + 2\kappa  + 1}}{{\sqrt 2 \left( {5{\kappa ^2} + 2\kappa  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} .

Άρα η οξεία γωνία των διανυσμάτων είναι \displaystyle \omega  = {45^0} και η αμβλεία είναι \displaystyle {135^0} . Οπότε και η αμβλεία γωνία των ευθειών (ε) και (ζ) είναι \displaystyle {135^0} .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4131
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:14 pm

Αγαπητοί φίλοι, η ανταπόκρισή σας είναι απρόσμενη και συγκινητική.

Μέχρι στιγμής έχουμε τα παρακάτω. Όποιος τρέξει προλαβαίνει (ίσως...)

GI_V_MATHP_4_18606 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18609 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18610 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18611 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18612 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18613 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18614 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18615 ΕΛΕΥΘΕΡΟ
GI_V_MATHP_4_18616 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18617 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18618 ΚΑΠΑΡΩΘΗΚΕ (Χρ. Τσιφάκης)
GI_V_MATHP_4_18619 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18620 ΚΑΠΑΡΩΘΗΚΕ (Θανάσης Μπεληγιάννης)
GI_V_MATHP_4_18621 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18622 ΛΥΘΗΚΕ
GI_V_MATHP_4_18623 ΛΥΘΗΚΕ

Θα παρακαλέσω να δούμε προσεκτικά τις λύσεις, σημειώνοντας τυχόν αβλεψίες μας, επιπλέον λύσεις κ.α.


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1947
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:24 pm

ξεκινάω το 18612
Συνημμένα
GI_V_MATHP_4_18612.ggb
(5.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 246 φορές
GI_V_MATHP_4_18612.docx
(66.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 269 φορές
τελευταία επεξεργασία από xr.tsif σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:24 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης